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3.2 Flächeninhalt und Gesamtänderung

Als Folgerung der einführenden Beispiele der unterschiedlichen Füllvorgänge der Badewanne können wir folgendes Ergebnis formulieren:

Ist der Verlauf einer lokalen Änderungsrate einer Größe durch einen Graphen gegeben, so kann die Gesamtänderung der Größe in einem bestimmten Intervall \( [a;b]\) als Maßzahl des Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der x-Achse gedeutet werden.

  • Flächenteile oberhalb der x-Achse werden dabei positiv gewertet
  • und Flächenteile unterhalb der x-Achse negativ.
 

 

Bestimmung der Fläche - Integralfunktion

Bei einem Heißluftballon ändert sich die jeweiligen Steig- und Sinkgeschwindigkeiten keinesfalls abrupt, da sie beispielsweise durch stetige Veränderungen des Gewichts, durch Luftströmungen oder durch Erwärmen der Luft im Ballon mit dem Gasbrenner beeinflusst werden.

Folgendes Diagramm zeigt die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit eines solchen Ballons nach seinem Start:

 

Näherung der Flughöhe in bestimmten Zeitintervallen 

  • Aus dem Graphen sollen nun Näherungswerte für die Höhe des Ballons
    nach 2, 6 und 8 min ermittelt werden.
  • Dazu nähert man den Graphen jeweils durch durch eine Treppenfunktion, deren Streifen alle die Breite  \(\small \Delta x=0,5\)  haben an und deren Höhe man aus dem Graphen bestimmen kann.
  •  Über die Maßzahlen der Rechtecksflächen berechnen wir die ungefähre Ballonhöhe im gegebenen Intervall:
     
\(\small 18m+30m+38m\) 
\(\small h_2 \approx 86m\)		 \(\small 86m+8 \cdot 40m\)
 \(\small h_6\approx 406m\) 		 \(\small 406m+ 39m+29m+15m\)
 \( \small h_8\approx 489m\)  

 

Näherung der Flughöhe im Beobachtungszeitraum

Um die Höhe möglichst exakt im gesamten Beobachtungszeitraum aus dem Graphen zu ermitteln, müssen wir

  • die Anzahl der Streifen (Intervalle) erhöhen bzw. die Streifenbreite verringern,
  • um die Lücken zwischen dem Graphen und der Treppenfunktion zu schließen.
  • Flächenstücke oberhalb der x-Achse sind positiv zu werten (der Ballon steigt)
  • und Flächenstücke unterhalb werden negativ gewertet (der Ballon fällt).
     
  • Die Summe der gewerteten Flächenstücke ergibt die Ballonhöhe!

Anleitung:
Mit dem Schieberegler kann die Anzahl der Streifen erhöht werden. Wir erkennen, dass sich die Treppenfläche an den Graphen sehr nahe annähert.