6.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X
Neben den Werten einer Zufallsgröße X sind vor allem die
Wahrscheinlichkeiten von Interesse mit denen diese Werte jeweils auftreten.
Ziel ist dabei, dass jedem Wert \(\small x_i\) der Zufallsgröße eine
Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann.
Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Urnenbeispiel
|
Definition Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Eine Funktion
W, die jedem Wert \( \small x_i\) mit \(\small 1 \leq i \leq n\)
einer Zufallsgröße X genau die Wahrscheinlichkeit \(\small P(X=x_i) \)
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsgröße.
Schreibweise: \( \small W: x
\mapsto P(X=x) =P(\{\omega|X(\omega)=x\})\)
|
Wahrscheinlichkeitsverteilung - Urnenbeispiel
Mit Hilfe der Lapace-Wahrscheinlichkeiten und Mitteln der Kombinatorik kann für jeden Wert der Zufallsgröße X die zugehörige Wahrscheinlichkeit
\( \small P(X=x)\) ermittelt werden.
- \(\small P(X=0)=0,7^4=24,01 \%\)
- \(\small P(X=1)=4 \cdot 03 \cdot 0,7^3=41,16 \%\)
- \(\small P(X=2)=6 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^2=26,46 \%\)
- \(\small P(X=3)=4 \cdot 0,3^3 \cdot 0,7=7,56 \%\)
- \(\small P(X=4)=0,3^4=0,81 \%\)
|
- Es gibt nur schwarze Kugeln
- Eine rote Kugel kann auf vier Positionen gesetzt werden.
- Zwei rote Kugeln können mit sechs Möglichkeiten verteilt
werden.
- Eine schwarze Kugel kann auf vier Positionen gesetzt werden
- Nur rote Kugeln!
|
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße muss wieder 1
ergeben!
Tabellendarstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße wird häufig in Form
einer Tabelle angegeben:
| \( \small x_i \) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| \(\small P(X=x_i) \) |
\(24,01 \%\) |
\(41,16 \%\) |
\(26,46 \%\) |
\(7,56 \%\) |
\(0,81 \%\) |
Wahrscheinlichkeitsverteilung - "chuck-a-luck"
- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich am einfachsten
entwickeln mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit und Mitteln der
Kombinatorik vorgeht und die Positionen der "Treffer" betrachtet bzw.
die Würfel unterscheidet.
- Sei dabei T die Bezeichnung für Treffer, d.h. die gesetzte Zahl
erscheint, und N für Niete.
- \(\small P(X=-1)=P(NNN)=\frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot
6}=\frac{125}{216}\)
- \(\small P(X=1)=P(TNN)+P(NTN)+P(NNT)=\frac{1 \cdot 5 \cdot 5}{6 \cdot
6 \cdot 6}+\frac{5 \cdot 1 \cdot 5}{6 \cdot 6 \cdot 6}+\frac{5 \cdot 5 \cdot
1}{6 \cdot 6 \cdot 6}=\frac{75}{216}\)
- \(\small P(X=2)=P(NTT)+P(TNT)+P(TTN)=\frac{5 \cdot 1 \cdot 1}{6 \cdot
6 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 5 \cdot 1}{6 \cdot 6 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 1 \cdot
5}{6 \cdot 6 \cdot 6}=\frac{15}{216}\)
- \(\small P(X=3)=P(TTT)=\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{6 \cdot 6 \cdot 6}=\frac{1}{216}\)
Tabellendarstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
| \( \small x_i \) |
-1 |
1 |
2 |
3 |
| \(\small P(X=x_i) \) |
\(\frac{125}{216}\) |
\(\frac{75}{216}\) |
\(\frac{15}{216}\) |
\(\frac{1}{216}\) |
6.1 Definition