Bei Glücksspielen wie "Chuck-a-luck ist es interessant, wie ein Spieler das Spiel auf lange Sicht bewertet, d.h. welchen Gewinn oder Verlust man auf Dauer zu erwarten hat.
Im Folgenden werden wir diesen mittleren Gewinn bzw. Verlust ermitteln.
| Eine charakteristische Maßzahl einer Zufallsgröße ist der sogenannte Erwartungswert! |
| \( \small x_i \) | -1 | 1 | 2 | 3 |
| \(\small P(X=x_i) \) | \(\frac{125}{216}\) | \(\frac{75}{216}\) | \(\frac{15}{216}\) | \(\frac{1}{216}\) |
Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Glücksspiel "chuck-a-luck" erkennen wir, dass der Spieler
Bei einer sehr großen Anzahl \(n\) von Spielen kann der Spieler somit folgenden Gewinn erwarten:
\( G_n=\frac{125}{216} \cdot n \cdot (-1)€+\frac{75}{216} \cdot n \cdot 1€+\frac{15}{216} \cdot n \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot n \cdot 3€ \)
Daraus können wir den durchschnittlichen "Gewinn" pro Spiel ermitteln, indem wir das Ergebnis G durch die Anzahl \(n\) der Spiele teilen:
\( G_{pro \space Spiel}=\frac{1}{n} \cdot (\frac{125}{216} \cdot n \cdot (-1)€+\frac{75}{216} \cdot n \cdot 1€+\frac{15}{216} \cdot n \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot n \cdot 3€ )\)
\( \hspace{20mm} =\frac{125}{216} \cdot (-1)€ + \frac{75}{216} \cdot 1€ + \frac{15}{216} \cdot 2€ + \frac{1}{216} \cdot 3€ =-\frac{17}{216} \space € \approx - 0,08 \space €\)
| Wir erkennen, dass sich der mittlere Gewinn eines Glücksspiels berechnen lässt, indem wir den jeweils den Wert der Zufallsgröße mit ihrer zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und aus diesen Produkten die Summe bilden! Bei "Chuck-a-luck" verliert der Spieler im Schnitt etwas 8 ct pro Spiel. |
Der Erwartungswert \(E(X)\) einet Zufallsgröße \(X\) ist im Allgemeinen der Wert, den man im Durchschnitt erwarten kann, wenn eine Zufallsgröße X sehr oft ausgewertet wird, d.h. das zugrundeliegende Zufallsexperiment oft wiederholt wird.
| Definition Erwartungswert Hat eine Zufallsgröße \( \small X\) die möglichen Werte \( \small x_1; x_2; ...; x_n \) mit ihren zugeörigen Wahrscheinlichkeiten \( \small P(X=x_1); P(X=x_2); ...; P(X=x_n) \) dann heißt die reelle Zahl \( \small E(X)= \mu \) mit \(\hspace{10mm} \mu = \small E(X)= x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_n \cdot P(X=x_n)\) Erwartungswert der Zufallsgröße X. Summenschreibweise: \(\hspace{10mm} \mu = E(X)= \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)\) |
| \( \small x_i \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(\small P(X=x_i) \) | \(24,01 \%\) | \(41,16 \%\) | \(26,46 \%\) | \(7,56 \%\) | \(0,81 \%\) |
\(\hspace{10mm} E(X)= \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)\)
\(\small \hspace{25mm} = 0 \cdot 24,01 \% + 1 \cdot 41,16 \% + 2 \cdot 26,46 \% + 3 \cdot 7,56 \% + 4 \cdot 0,81 \% =1,2\)
Bei langer Versuchsdauer können im Schitt 1,2 rote Kugeln erwartet werden.
6.1 Definition