Viele Zufallsexperimente behandeln Zusammenhänge, die auf den ersten Blick kompliziert sind. Diese lassen sich jedoch in der Regel mit sogenannten Urnenmodellen simulieren, was die Untersuchung deutlich vereinfacht.
Bei einem Urnenexperiment verwendet man in der Regel verschiedenfarbige oder unterschiedlich beschriftete, aber sonst ununterscheidbare Kugeln, die in einem Gefäß - der sogenannten Urne - liegen.
Das Experiment besteht darin, dass man n-mal nacheinander je eine Kugel "blind" aus aus der Urne zieht und das Ergebnis aufschreibt.
Man unterscheidet zwei Arten von Urnenexperimenten:
Bei einem Multiple-Choice-Test bekommt man für jede Frage mehrere mögliche Antworten zur Auswahl und man muss die richtigen ankreuzen.
Hans geht völlig unvorbereitet in einen Multiple-Choice-Test. Bei seiner Prüfung bekommt er vier Fragen gestellt und erhält für jede dieser Fragen drei mögliche Antworten, von denen genau eine richtig ist.
Da Hans nichts gelernt hat, kreuzt er auf gut Glück bei jeder Frage eine Antwort an.
Fragestellung:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kreuzt er vier-, drei-, zwei-, ein- bzw.
keinmal eine richtige Antwort an?
Simulation:
Der Multiple-Choice-Test kann mit Hilfe des
Modells "Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen"
simuliert werden, denn Hans hat für jede Frage immer zwei falsche Antworten
und eine richtige zur Auswahl.
Aufbau des Urnenexperiments:
Daher verwenden wir eine Urne mit zwei schwarze Kugeln (für die falschen Antworten) und
eine weiße (für die richtige Antwort). Hans zieht viermal (für jede Frage
einmal), notiert sich das Ergebnis und zeichnet dazu einen Baum mit den
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben immer
gleich, da er stets zufällig ankreuzt.
Mit Hilfe des Baumdiagramms und der Pfadregeln ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
| Anzahl | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Wahrscheinlichkeiten |
In einer Lostrommel sind 10 Lose, und zwar 6 Gewinne und 4 Nieten.
Evi
kauft vier Lose.
Fragestellung:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie vier-, drei-, zwei-, ein- bzw.
keinmal einen Gewinn?
Simulation:
Der Multiple-Choice-Test kann mit Hilfe des
Modells "Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen" simuliert
werden, denn Lose können nicht mehrfach verkauft werden .
Aufbau des Urnenexperiments:
In einer Urne sind 6
weiße Kugeln (Gewinne) und 4 schwarze (Nieten). Evi zieht viermal,
notiert sich das Ergebnis und zeichnet dazu einen Baum mit den
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Die jeweilige gezogene Kugel wird nicht
mehr zurückgelegt.
Mit Hilfe des Baumdiagramms und der Pfadregeln ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
| Anzahl | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Wahrscheinlichkeiten |
Ein Glücksrad hat acht gleich große Sektoren. Zwei davon sind rot, drei grün, zwei schwarz und einer gelb. Hans dreht das Glücksrad viermal und betrachtet den roten Sektor als Gewinn.
a) Mit welchem Urnenexperiment kann man dieses Glücksspiel simulieren?
b) Gib die Zusammensetzung der Urne an.
c) Zeichne das Baumdiagramm zum Experiment mit Pfadwahrscheinlichkeiten.
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält Lucas
- keinmal rot?
- genau einmal rot?
- höchstens einmal rot?
- mindestens einmal rot?
In einem Regionalzug sitzen 30 Personen, von denen fünf keinen Fahrschein haben. Unter den fünf "Schwarzfahrern" sind auch Gudrun und Robert. Ein Kontrolleur überprüft rein zufällig stichprobenartig die Fahrscheine von zwei Personen.
a) Mit welchem Urnenexperiment kann man diese Situation simulieren?
b) Gib die Zusammensetzung der Urne an.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt der
Kontrolleur
- genau zwei Schwarzfahrer.
- zwei Schwarzfahrer und es ist Gudrun oder Robert dabei.
- Gudrun und Robert.
- keinen Schwarzfahrer.
d) Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm mit Pfadwahrscheinlichkeiten.
| Übungsblatt zu Baumdiagrammen | Angabe | Lösung |
1. Einführung (Wh)