3.4.2 Inhaltsfunktion für beliebige, krummlinige Randfunktionen

Schon in der Antike beschäftigten sich die Gelehrten mit Verfahren zur Bestimmung des Flächeninhalts krummlinig begrenzter Flächen. Bereits etwa 287 bis 212 v. Chr. gelang es dem griechischen Gelehrten Archimedes von Syrakus Parabelsegmente mit der sogenannten Exhaustionsmethode zu berechnen. Die Grundidee der Berechnung bestand darin, die unbekannte Fläche durch ein Folge berechenbarer Flächen auszuschöpfen und zu berechnen.

Die Exhaustionsmethode gilt als Vorläufer unserer modernen Integralrechnung. Auch wir nähern die Fläche unter einer krummlinigen Kurve durch eine Folge berechenbarer Teilflächen (Rechtecke, Dreiecke, Trapeze etc.) an. 

 

Existenz einer Flächeninhaltsfunktion für beliebige Kurven

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit der Frage, ob es für jede beliebige Funktionen, auch "krummlinige", eine Flächeninhaltsfunktion gibt, die wir mit einfachen Mitteln bestimmen können und mit der wir die Gesamtänderung (Gesamteffekt) berechnen können.

Dazu betrachten wir eine stetige, streng monoton steigende Funktion, die über der x-Achse verläuft und analysieren den Zusammenhang zweier Flächen unter dem Graphen:

 

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1. Schritt: Festlegen und Größenvergleich geeigneter Flächen

Betrachten wir die Inhalte zweier Flächen zwischen \(\small G_f\) und der x-Achse: \(\small \color{red}{A(x)}\hspace{11mm} \) von \(\small 0\) bis zu einer beliebigen Stelle \(\small \color{red}{x}\) \(\small \color{green}{A(x+h)} \hspace{3mm}\) von \(\small 0\) bis zur Stelle \(\small \color{green}{x+h}\)
Der Unterschied A der beiden Flächeninhalte hängt vom Wert h ab und wird durch den Streifen unter dem Graphen dargestellt, der nur grün schraffiert ist. Den Flächeninhalt A dieses Streifens mit der Breite h können wir mit der Differenz aus \(\small \color{green}{A(x+h)}\) und \(\small \color{red}{A(x)}\) berechnen.   \(\hspace{10mm}\) Ergebnis:    \(A= \color{green}{A(x+h)}-\color{red}{A(x)}\)

 

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2. Schritt: Abschätzen der Differenzfläche A

Wir können den Inhalt der Fläche A durch zwei Rechtecksflächen annähern.

A ist offensichtlich größer als die rot schraffierte Fläche mit dem Inhalt \(\small \color{red}{f(x) \cdot h} \)		und zudem kleiner als die grün schraffierte Fläche mit dem Inhalt \(\small \color{green}{f(x+h) \cdot h} \)

 

Wir erhalten folgende Ungleichung (mit Umformung): 

\(f(x) \cdot h \leq A \leq f(x+h) \cdot h \)	\(\Rightarrow\) Ungleichung aus Flächenvergleichen
\(f(x) \cdot h \leq \small \color{green}{A(x+h)}-\color{red}{A(x)} \leq f(x+h) \cdot h \)	\(\Rightarrow\) Ergebnis vom 1. Schritt  einsetzen
\(f(x)\leq \frac{ \color{green}{A(x+h)}-\color{red}{A(x)}}{h} \leq f(x+h) \)	\(\Rightarrow\) Division durch h

Diese Ungleichungen gelten für beliebige Werte von h, also für beliebige Rechtecksbreiten, d.h. insbesondere auch für beliebig schmale Rechtecke, die wir erhalten, wenn wir \(\small h \to 0\) gehen lassen.

 

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3. Schritt: Grenzwert für \(h \to 0\) 

\(\lim \limits_{h \to 0}f(x) \leq \lim \limits_{h \to 0}\frac{ \color{green}{A(x+h)}-\color{red}{A(x)}}{h} \leq \lim \limits_{h \to 0}f(x+h)\)

• Links bleibt einfach \(f(x)\) stehen, da dieser Term unabhängig von h ist.
• Rechts wird aus \(f(x+h)\) einfach \(f(x)\)  da  \(h \to 0\) wird.
• In der Mitte sollten wir den Differenzialquotienten erkennen. Wir erhalten durch diesen Grenzwert also die Ableitung \(A'(x)\)  von \(A(x)\).

\(\Rightarrow \hspace{3mm} f(x) \leq A'(x) \leq f(x)\)

Da die Terme links und rechts identisch sind, muss auch der mittlere Term gleich diesen beiden Termen sein:

 \( \Rightarrow \hspace{3mm} A'(x) = f(x)\)

 

Ergebnis: Wenn es uns also gelingt, eine Funktion \(F(x)\) zu finden, deren Ableitung \(F'(x)\) die Funktion \(f\) ist, dann ist die Funktion \(F(x)\) unsere gesuchte Flächeninhaltsfunktion.

 

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