Mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion sollen Integrale und Flächenstücke zwischen dem Graphen und der x-Achse in vorgegebenen Intervallen berechnet und die Ergebnisse gegebenenfalls analysiert werden.
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen \(\small G_f\) mit \( \small f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\) und der x-Achse im Intervall \( [0;4]\).
| Diese Aufgabe kann mit einer
Flächeninhaltsfunktion gelöst werden, da diese die Fläche von 0 bis
zu einem beliebigen x-Wert zw. Graphen und x-Achse berechnet: Inhaltsfunktion: \(F(x)=\frac{1}{12}x^3+x\) Flächenberechnung: \(\int\limits_0^4 f(x)dx= F(4)=\frac{1}{12}4^3+4=\frac{28}{3}\) |
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Berechne die Fläche zwischen dem Graphen \(\small G_f\) mit \( \small f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\) und der x-Achse im Intervall \( [2;4]\).
| Auch diese Aufgabe kann mit
einer Flächeninhaltsfunktion \(F\) gelöst werden. Zuerst wird die
Fläche unter \(G_f\) von 0 bis 4 berechnet und davon die Fläche von
0 bis zu einem x-Wert 2 abgezogen: Inhaltsfunktion: \(F(x)=\frac{1}{12}x^3+x\) Flächenberechnung: \(\int\limits_2^4 f(x)dx = F(4)-F(2)=\frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}\) |
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Berechne das Integral von 0 bis 3 über der Funktion \( \small f(x)=x^3-3x^2-x+3 \).
| Zu bestimmen ist also der Wert
\( \int\limits_0^3 f(x)dx\). Lösbar wieder mit einer Flächeninhaltsfunktion \(F\) von 0 bis zum x-Wert 3! Inhaltsfunktion: \(F(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\) Berechnung des Integrals: \(\int\limits_0^3 f(x)dx = F(3)=\frac{1}{4} \cdot 3^4-3^3-\frac{1}{2} \cdot 3^2+3 \cdot 3=-\frac{9}{4}\) |
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Die Flächeninhaltsfunktion liefert als Ergebnis eine Flächenbilanz. Wir erkennen außerdem, dass die Fläche unterhalb der x-Achse überwiegt, da das Ergebnis der Berechnung negativ ist.
4.1 Lineare Funktionen