3.1 Parameterform einer Ebene

Eine Ebene ist ein unbegrenztes "flaches" zweidimensionales geometrisches Objekt im \(R^3\).

Ziel der Parameterform ist es, mit Hilfe der gängigen Vektorrechnung jeden Punkt \(X\) der Ebene zu "erreichen". Dabei muss ausgehend vom Koordinatenursprung mit einer Weg gefunden werden, mit einer Vektorkette an jeden Punkt der Ebene zu gelangen:

• Der Stützvektor \(\vec{a}\) führt zum Aufpunkt \(A\), d.h. auf die Ebene \(E\).
• Mit der Addition beliebiger Vielfacher der Vektoren  \(\vec{u}\)  sowie  \(\vec{v}\)  zu den Koordinaten des Punktes \(A\) können wir jeden weiteren Punkt \(X\) der Ebene erreichen.
• Der Ortsvektor des beliebigen Punktes \(X\)  wird wiederum durch \(\vec{X}\) beschrieben!

  

In der Abbildung rechts ist diese Berechnung exemplarisch für einen Punkt \(X\) der Ebene dargestellt:     \(\vec{X}=\vec{a}+2,5 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} \)

 

Parameterform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene \(E\) ist also eine Art "Wegbeschreibung" zu allen möglichen Punkten der Ebene.

• \(\vec{X}\) ist dabei der direkte Weg zum Punkt \(X\)
• Über den "Umweg" der Vektorkette   \(\vec{a}+\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v}\)   kann jeder Punkt \(X\) der Ebene berechnet werden.
• Dazu werden für die Parameter  \(\lambda, \mu\)  beliebige Werte eingesetzt.

 

Diese Beschreibung führt uns unmittelbar zur...

Parameterform einer Ebene Eine Ebene \(E\) im \(R^3\) lässt sich durch einen Stützvektor \(\vec{a}\) zum Aufpunkt \(A\) und zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\)  und  \(\vec{v}\) darstellen.   \[PF(E): \hspace{5mm} \vec{X}= \vec{a}+\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \hspace{5mm}mit \space \lambda, \mu \in R\]   Die beiden Richtungsvektoren  \(\vec{u}\)  und  \(\vec{v}\)  legen die Ausrichtung der Ebene \(E\)  im Raum fest und dürfen keine Vielfache voneinander sein. Man sagt auch: Die Vektoren \(\vec{u}\)  und  \(\vec{v}\) spannen die Ebene auf.

 

Beispiel:  Kennen wir von einer Ebene den Aufpunkt \(A(-1|2|5)\)

und die zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\  1 \end{array}\right) \)  und   \(\vec{v}=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \\  2 \end{array}\right) \)

dann können wir die Parameterform der Ebene \(E\) angeben:

 

\[PF(E): \hspace{5mm} \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\  5 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\  1 \end{array}\right) +\mu \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \\  2 \end{array}\right) \]

  

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