Eine Ebene \(E\) kann neben der Parameterform auch in der sogenannten Normalenform dargestellt werden, die nach logischen Gesichtspunkten aus der Parameterform entwickelt werden kann.
| Idee der Parameterform Die Parameterform einer Ebene beschreibt den Weg vom Koordinatenursprung zu beliebigen Punkten einer Ebene durch eine Vektorkette, bestehend aus dem Stützvektor \(\vec{a}\) zum Aufpunkt \(A\) der Ebene und zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\). |
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| Die grundlegende Idee der Parameterform ist also die
Berechnung aller Punkte
\(X\) mit
Hilfe der Vektorkette \( \vec{a} + \lambda
\cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \) vom Koordinatenursprung
aus, wodurch sich unmittelbar die Ebenengleichung ableiten lässt: \[PF(E): \space \vec{X} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \] Dabei ist \(\vec{X}\) der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt \(X\) der Ebene \(E\). |
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| Idee der Normalenform Die Normalenform einer Ebene \(E\) beschreibt die Eigenschaften von Punkten der Ebene mit Hilfe ihres Normalenvektors \(\vec{n}\), der aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren gebildet wird. \[\vec{n}= \vec{u} \times \vec{v}\] |
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| Eigenschaft aller
Punkte der Ebene: Der Normalenvektor \(\vec{n}\) steht senkrecht auf den Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \( \vec{v}\), daher senkrecht auf der Ebene \(E\) und insbesondere senkrecht auf dem Verbindungsvektor \(\vec{AX}\) vom Aufpunkt \(A\) zu jedem beliebigen Punkt \(X\) der Ebene: \[\vec{n} \space \perp \space E \space \Leftrightarrow \space \vec{n} \space \perp \space \vec{AX} \space \Leftrightarrow \space \vec{n} \space \perp \space (\vec{X}-\vec{A} )\] Das Ergebnis des Skalarprodukts für zueinander senkrecht stehende Vektoren ist dann unsere Normalenform der Ebene: \[ NF(E): \space \vec{n} \space \circ \space (\vec{X}-\vec{A} )=0\] Alle Punkte \(X\), die diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene \(E\), die durch einen Aufpunkt \(A\) und deren Normalenvektor \(\vec{n}\) eindeutig festgelegt wird. |
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Wir sehen, neben der Parameterform ist die Normalenform eine weitere Möglichkeit eine Ebene im Raum durch eine mathematische Gleichung zu beschreiben.
| Definition: Eine Ebene \(E\) kann im \(R^3\) eindeutig festgelegt werden durch einen Normalenvektor \(\vec{n}\) und einem Aufpunkt \(A\): \[NF(E): \space \vec{n} \circ ( \vec{X} - \vec{A} ) = 0 \]
Idee der Ebenengleichung: |
3.1 Punktprobe
