12.1  e - Funktionen ohne Nullstellen

Ausgehend von unserer Basisfunktion \(f(x)=e^x\) können wir unendlich viele Funktionen festlegen, die keine Nullstelle aufweisen. Wir müssen nur beachten, dass die natürliche e-Funktion für jedes \(x \in R\) einen positiven Funktionswert liefert.

Das bedeutet, dass wir in den Exponenten \(x\) jeden beliebigen Zahlenwert einsetzen können und wir dabei sicher sein können, dass alle Funktionswerte \(y\) größer null sind.

 

Vorzeichen der Funktionswerte und Graph

\(f(x)=e^x >0\)  für alle \(x \in R\) Wir können uns merken: "e hoch irgendetwas ist immer größer null!" \( \Rightarrow\) Graph verläuft stets über der x-Achse!

 

Die e - Funktion in einer Verkettung

Wird die natürliche Exponentialfunktion mit einer beliebigen Funktion \(g(x)\) verkettet, dann wird anstatt dem \(x\) im Exponenten \(g(x)\) eingetragen.

Wir erhalten auf diese Weise die verkettete Funktion  \[f(x)=e^{g(x)}\] mit einer zweistufigen Berechnung der Funktionswerte: Der jeweilige x-Wert wird im Prinzip erst in \(g(x) \) eingesetzt. Das Ergebnis von \(g(x)\) wird in einem zweiten Schritt an die e-Funktion übergeben und so das Ergebnis der Hintereinanderausführung (Verkettung) berechnet.

 

Bedeutung für das Vorzeichen der Funktionswerte

Bei einer Verkettung der e-Funktionen mit einer beliebigen Funktion \(g(x)\) wird der e-Funktion auch nur ein beliebiger Zahlenwert übergeben, der sich aus der Eingabe eines beliebigen x-Wertes in die innere Funktion \(g(x)\) ergibt.

Es gilt also auch in diesem Fall der Grundsatz: "e hoch irgendetwas ist immer größer null!"

• Alle Funktionen des Typs "e-Funktion verkettet mit beliebiger Funktion" liefern nur positive Funktionswerte.
• Ihre Graphen verlaufen stets überhalb der x-Achse
• und besitzen daher auch keine Nullstellen.
• Daran ändert auch ein beliebiger positiver Faktor nichts.

 

 

Beispiele zur Veranschaulichung:

\(f(x)=e^{-2x}\)

\(f(x)=e^{x^3}\)

\(f(x)=1,5 \cdot e^{2x-x^3}\)

 

Verschiebungen von e - Funktionen mit Verkettung

Addieren wir zu den Termen von e - Funktionen mit einer Verkettung eine positive Konstante c, d.h. es es ist \(c \in R^+\), dann haben diese Funktionen natürlich ebenfalls keine Nullstelle.

Diese positive additive Konstante \(c\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen der "nur" verketteten Funktion um \(c\) Einheiten in positiver y-Richtung.

 

Beispiele zur Veranschaulichung:

\(f(x)=e^x+2\) \(g(x)=e^x\)

\(f(x)=e^{x^3}+1,5\) \(g(x)=e^{x^3}\)

\(f(x)=1,5e^{2x-x^3}+1\) \(g(x)=1,5e^{2x-x^3}\)

\(f(x)=e^{-2x}+3\) \(g(x)=e^{-2x}\)

 

Rechnerischer Nachweis durch Widerspruch

Rechnerisch können wir ebenfalls sehr schnell nachweisen, dass eine entsprechend strukturierte Funktion keine Nullstelle haben kann.

Beispiel: \( f(x)= \frac{3}{2} \cdot e^{3x^2+2} +6 \) \(\frac{3}{2} \cdot e^{3x^2+2} +6=0 \)	Setze Funktionsterm gleich null!
\(e^{3x^2+2}=-4 \)	Isolieren des "e-Terms" führt zum Widerspruch, da \(e^{2x^2+2}>0\) !   \( \Rightarrow \) Es gibt keine Nullstelle(n)!

 

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evtl. zusätzliche Unterlagen

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