12.3  e - Funktionen mit Nullstellen durch Kombinationen

Neben Verkettung und Verschiebung kann eine e - Funktionen mit zahlreichen Funktionstypen in Summen, Produkten und Quotienten so kombiniert werden, dass Nullstellen berechnet werden können. 

In dieser Einheit werden wir einige Typen mit ihren charakteristischen Lösungsstrukturen zur Bestimmung der Nullstellen kennenlernen.

 

e - Funktion im Produkt

Ein beliebiger Term einer e-Funktion mit Verkettung kann mit einer weiteren Funktion \(p(x)\) multipliziert werden.

Wir können allgemein diesen Typ formal folgendermaßen definieren: \[f(x) = p(x) \cdot e^{g(x)} \]

Nachdem der "e-Term" stets größer Null ist, bestimmt nur der Faktor \(p(x)\) mögliche Nullstellen für Funktionen dieses Typs.

 

Beispiele:

• \(f(x)=5x^2 \cdot e^{-2x} \hspace {10mm} \Rightarrow \hspace{10mm}\) Hier gilt:   \(p(x)=5x^2\) und \(g(x)=-2x\)
• \(f(x)=(4-x^2) \cdot e^x \)
• \(f(x)=\frac{x^2-1}{x} \cdot e^x\)
• \(f(x)=(5x-2) \cdot e^{-x} \)
• \(f(x)=x^2 \cdot e^x \)
• \( f(x)=6e^x-2xe^x\)

 

Grundsätzlich können wir für Produkte festhalten:   Ist mindestens einer der Faktoren null, dann ist auch das gesamte Produkt null. Für Produkte von Funktionen bedeutet dieser Sachverhalt, dass wir zum Bestimmen von Nullstellen jeden einzelnen Faktor auf mögliche Nullstellen untersuchen müssen!

 

Beispiel:   \(f(x)=(x^2+2x-3) \cdot e^{2x-x^2}\)

 

\((x^2+2x-3) \cdot e^{2x-x^2}=0\)	Funktionsterm gleich null setzen
\( (x^2+2x-3)=0\)	Da \(e^{2x-x^2}>0\)
\(  x_{1/2}  = \frac{-2 \space \pm \space \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 1} \)	"Mitternachtsformel" anwenden
\(x_1=1\) und \(x_2=-3\)	Nullstellen berechnen!

 

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evtl. zusätzliche Unterlagen

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