12.2  e - Funktionen mit Nullstellen durch Verschiebung

Auf Grundlage der in y-Richtung verschobenen Funktionen können wir schnell auf  Funktionsterme verketteter e-Funktionen mit Nullstellen schließen. In Kapitel 12.1 haben wir Funktionen betrachtet, die sich aus verketteten e-Funktionen durch eine Verschiebung in positiver y-Richtung entwickeln lassen.

 

Verschiebung in negativer y-Richtung

Subtrahieren wir von den Termen von e - Funktionen mit einer Verkettung eine Konstante c, dann bewirkt diese Konstante eine Verschiebung des Graphen der "nur" verketten Funktion um c Einheiten in negativer y-Richtung.

Funktionen dieser Art besitzen folglich mindestens eine Nullstelle!

 

Beispiele zur Veranschaulichung:

\(f(x)=e^x-2\) \(g(x)=e^x\)

\(f(x)=e^{x^3}-1,5\) \(g(x)=e^{x^3}\)

\(f(x)=e^{2x-x^3}-2\) \(g(x)=e^{2x-x^3}\)

\(f(x)=e^{-2x}-1\) \(g(x)=e^{-2x}\)

 

 

Rechnerische Bestimmung der Nullstelle(n)

Für viele Funktionen dieses Typs können wir die Nullstellen berechnen, in dem wir den Funktionsterm gleich null setzen.

Beispiel: \( f(x)= -2 \cdot e^{x^3-x} +2 \)
\(\ -2 \cdot e^{x^3-x} +2=0 \)	Setze Funktionsterm gleich null!
\(e^{x^3-x}=1 \)	Isolieren des "e-Terms"
\(ln(e^{x^3-x})=ln(1) \)	Beidseitiges Logarithmieren
\(x^3-x=0\)	Logarithmengesetze anwenden
\(x \cdot (x^2-1)=0 \)	Faktorisieren
\( x \cdot (x-1) \cdot (x+1)=0 \)	Lösungen:  \(x_1=-1\), \(x_2=0\) und \(x_3=+1\)

 

---

evtl. zusätzliche Unterlagen

---