10.1 Exponentielles Wachstum

Wachstumsvorgänge lassen sich häufig mit Hilfe von Exponentialfunktionen der folgenden Form darstellen:

\[f: x \mapsto B_t=B_0 \cdot a^t\]

- \(B_0\) ist dabei der Bestand der Kultur zum Start des Beobachtungszeitraumes
- \(a\) ist eine Wachstumskonstante, die die Stärke des Wachstums angibt
- \(B_t\) ist der Wert der Kultur nach der Zeit \(t\)

Folgendes Beispiel für eine sich selbstvermehrende Bakterienkultur verdeutlicht die mathematischen Zusammenhänge.

 

Wachstum einer Bakterienkultur

Eine Bakterienkultur enthält bei Versuchsbeginn 400 Bakterien. Der Bestand verdoppelt sich innerhalb von 20 Minuten.

• \(t=0  \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{5mm}\): 400 Bakterien
• \(t=20  \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}\): 800 Bakterien
• \(t=40  \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}\): 1600 Bakterien
• \(t=60  \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}\): 3200 Bakterien
• usw.

Neu hinzugekommene Bakterien tragen wieder zur Vermehrung bei, wodurch sich das exponentielle Wachstum erklären lässt.

 

Wachstum als Funktion in Abhängigkeit von der Zeit

Betrachtet man das Bakterienwachstum in Minuten mit den vorliegenden Angaben, so kann man die Konstante \(a\) bestimmen:

\(B_t=B_0 \cdot a^t\)	Allgemeine Formel zur Berechnung der Elemente im exponentiellen Wachstum
\(2 \cdot 400 = 400 \cdot a^{20}\)	Daten aus den Angaben einsetzen. Verdopplung der Bakterien nach 20 Minuten berücksichtigen \(: 400\)    -> Ziel: Nach a auflösen!
\(2 = a^{20} \)	\( \sqrt[20]{...}\)
\( a=\sqrt[20]{2} \approx 1,03526\)

 

Nun kann das Bakterienwachstum in Abhängigkeit der Zeit \(t\) als Funktionsterm formuliert werden und der Bakterienbestand für beliebige Zeitpunkte näherungsweise berechnet werden:

Funktionsterm:  \(B(t)=400 \cdot 1,03526 ^t\)

 

• Bakterien nach 60 Minuten:  \(B(60)=400 \cdot 1,03526^{60}=3199\)
• Bakterien nach 110 Minuten:  \(B(110) = 400 \cdot 1,03526^{110}=18092\)

 

Graph des Wachstums

Der nachfolgende Graph der zugrundeliegenden Funktion \(B(t)=400 \cdot 1,03526^{t}\) verdeutlicht den rasanten Anstieg der Population.

 

Berechne die Anzahl der Bakterien nach 50, 70 und 80 Minuten mit Hilfe der ermittelten Formel und vergleiche diese Ergebnisse mit dem Graphen!

 

Aufgabe

Eine Bakterienkultur enthält bei Versuchsbeginn 700 Bakterien. Der Bestand verdoppelt sich innerhalb von 25 Minuten.

1. Bestimme für das Wachstum den zugrunde liegenden Funktionsterm.
2. Wie viele Bakterien enthält die Kultur nach 50, 60, 100, 150 und 250 Minuten?

 

 

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