10.3 Eigenschaften von Exponentialfunktionen

 

Alle Funktionen der Form \[f:x \mapsto y=a^x \hspace{5mm} mit \hspace{5mm} b \in R; \space a>0; \space a \neq1\] heißen Exponentialfunktionen zur Basis \(a\).

 

Beachte:
Bei Exponentialfunktionen steht die Variable \(x\) im Exponenten und die Basis \(a\) muss eine positive reelle Zahl mit \(a \neq 1\) sind.

Grundsätzlich unterscheiden wir zwei charakteristische Typen von Exponentialfunktionen, wie nachfolgende Zeichnung aufgrund von vier Beispielen zeigt.

• Exponentialfunktionen deren Basis größer als 1 ist, d.h \(a>1\)
• Exponentialfunktionen deren Basis zwischen 0 und 1 liegt, d.h. \(0<a<1\)

 

Graphen der Funktionen: \(f_1(x)=(\frac{1}{2})^x\) \(f_2(x)=2^x\) \(f_3(x)=(\frac{1}{3})^x\) \(f_4(x)=3^x\)

 

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Aus den vier Graphen kann man grundlegende Eigenschaften erkennen und auf gleichartige Typen von Exponentialfunktionen übertragen.

  

Typ 1: \(a>1 \)		Typ 2: \(0<a<1\)
Die Graphen sind streng monoton steigend. Je größer a, desto steiler verläuft der Graph. Es gilt  \( \lim \limits_{x \to -\infty} f(x)=0\)		Die Graphen sind streng monoton fallend. Je kleiner a, desto steiler verläuft der Graph. Es gilt  \( \lim \limits_{x \to +\infty} f(x)=0\)

Grundlegende Eigenschaften:

• Die Basis a bestimmt grundsätzlich die Steigung des Graphen der jeweiligen Funktion.
• Die Graphen aller Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt \( P(0|1)\).
• Die Graphen der Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen.
• Für den Definitions- und Wertebereich gilt aller Exponentialfunktionen gilt:
  \( D_f=R\)  und \(W_f=R+= ]0;+\infty[ \)
   
• Die x-Achse ist Asymptote aller Funktionen, das sich die Graphen für \(x \to - \infty\) oder \(x \to + \infty\) beliebig nahe an die x-Achse annähern.
• Der Graph mit dem Funktionsterm \(2^x\) ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse zum
  Funktionsgraphen von \( (\frac{1}{2})^x \).
  
  Diese Eigenschaft lässt sich auf beliebige Basen übertragen, die jeweils Kehrwerte zueinander sind!
  

 

 

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evtl. weitere Informationen, Quellen, Lösungen, ...

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Eigenschaften von Exponentialfunktionen	Arbeitsblatt