Geogebra

10.2 Änderungsrate im exponentiellen Wachstum

Eine Vielzahl von Wachstumsvorgängen lassen sich mit Hilfe von Exponentialfunktionen der folgenden Form darstellen:


\[f:x \mapsto y=b \cdot a^x \hspace{5mm}mit \hspace{5mm} b \in R; \space a>0\]

Aus den vorangegangen Seiten wissen wir, dass jeweils neu hinzugekommene Elemente weiter zur Vermehrung beitragen, was zum rasanten Anstieg der Anzahl der Elemente, also der Größe der jeweiligen Population, führt.

Die Änderungsrate, gibt die Stärke des Wachstums zum betrachteten Zeitpunkt an, steigt ebenso rasant (Vgl. 10. unter Zusammenfassung). Dies äußert sich wiederum in  der Steigung des Funktionsgraphen eines exponentiellen Wachstums.

\( \Rightarrow \) Die Steigung nimmt schnell sehr große Werte an, d.h. der Graph verläuft bald sehr steil.

 

Steigung des Funktionsgraphen

Die Stärke des jeweiligen Wachstums soll für jeden x-Wert aus dem Definitionsbereich \(D_f\) der Funktion \(f\) bestimmt werden. D.h. wir müssen die Ableitung \(f'(x)\) unserer Wachstumsfunktion \(f:x \mapsto y=b \cdot a^x\) bestimmen.

Im Folgenden werden wir uns mit der Ableitung der Funktion \(f:x \mapsto y=a^x\) beschäftigen und feststellen, dass deren Ableitung \(f'\) für einen speziellen Wert für die Basis \(a\) besonders angenehm zu berechnen ist!

 

Berechnung der Steigung mit dem Differentialquotienten

Die Berechnung der Steigung der Funktion \(f:x \mapsto y=a^x\) an einer Stelle \(x_0\) können wir uns wieder mit der Steigung \(m_s\) der Sekanten AB veranschaulichen.

Nähert sich der Punkt \(B\) beliebig nahe an den Punkt \(A\) an, dann erhalten wir eine sehr genaue Näherung der Steigung des Graphen \(G_f\) im Punkt \(A(x_0|y_0) \). 

(-> Vgl. Kapitel 2.2 bis 2.4)		 Änderungsrate

 

Berechnung der Steigung der Funktion \(f(x)=a^x\)

 

Die Steigung \(f'(x_0)\) erhalten wir also wieder einmal mit unserem Differentialquotienten:

Ergebnisse der Umformung Erläuterung der Schritte im Detail
\( f'(x_0)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}=\)   Einsetzen der Funktionswerte:
\(f(x_0 +h)=a^{x_0 +h}\)   und   \(f(x_0)=a^{x_0}\)
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{x_0 +h}-a^{x_0}}{h}=\)   Anwenden des Potenzgesetzes:
\(a^{m+n}=a^m \cdot a^n\)  auf  den Term   \(a^{x_0 +h}\)
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{x_0} \cdot a^h-a^{x_0}}{h}=\)   Ausklammern des Zahlenwertes \(a^{x_0}\) im Zähler und Vorziehen des Faktors vor den Bruch.
\(\lim \limits_{h \to 0} a^{x_0} \cdot \frac{a^h-1}{h}=\)   Der Zahlenwert \(a^{x_0}\) hängt nicht von \(h\) ab, d.h.die Grenzwertbetrachtung  \(\lim \limits_{h \to 0}...\) hat darauf keinen Einfluss.
\(a^{x_0} \cdot \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\)   \(a^{x_0}\) kann also vor den Limes  gezogen werden.

 

Wir können also für unsere Funktion \(f(x)=a^x\)  für den Term der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) folgendes Zwischenergebnis festhalten:

\[f(x)=a^x \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x)=a^{x_0}\cdot \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}\]

...keine Angst, es wird gleich einfacher! Smilie

 

 

Formulieren wir dazu den zweiten Faktor \(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}\) unserer Ableitung etwas um:

\( \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=\) Der Term erinnert aufgrund seiner Struktur (Differenz mit Funktion im Zähler sowie h im Nenner) und der Grenzwertbetrachtung \( \lim \limits_{h \to 0}...\) ebenfalls an einen Differentialquotienten, den wir gleich erkennen.
\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{0+h}-a^0}{h}=\)   Wir formen mit folgendem "Trick" um:
\(a^{h}=a^{0+h}\)   und   \(1=a^0\)
 
Der nun entstandene Term stellt die Ableitung der Funktion \(f(x)=a^x\) an der Stelle \(x_0=0\) dar:
\( f'(0)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(0 +h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{0+h}-a^0}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}\)
     
Wir können daher den oben erarbeiteten Term der Ableitung  \( f'(x)\) deutlich vereinfachen:
\( f'(x)=a^{x_0}\cdot \lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}\)      mit \(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=f'(0)\)
\( f'(x_0)=a^{x_0}\cdot f'(0)\)     

 

Ergebnis:
Die Ableitung \(f'\) der Exponentialfunktion \(f:x \mapsto y=a^x\) an einer beliebigen Stelle \(x_0\) ergibt sich aus dem Produkt des Funktionswertes von \(f\) an der Stelle  \(x_0\),  d.h. \(f(x_0)=a^{x_0}\) und der Ableitung \(f'\) an der Stelle \(0\), also \(f'(0) \).

Kurz:   \( f(x)=a^x \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} f'(x_0)=a^{x_0}\cdot f'(0) \)

Beachte: \(f'(0)\) ist die Steigung des Graphen \(G_f\) an der Stelle \(x=0\).

 

 

Umformung im Video

 

Schaut doch schon besser aus. Im nächsten Kapitel wird's noch einfacher! Smilie

 

Aufgaben:
Steigung - Exponentialfunktion Angabe