10.4 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

Für die Bestimmung der Ableitung einer Exponentialfunktion \(f:x \mapsto f(x)=a^x\) an einer beliebigen Stelle \(x_0\) haben wir im Kapitel 10.2 folgenden Zusammenhang ermitteln können:

\[f'(x_0)=a^{x_0}\cdot \color{red}{\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}}=a^{x_0} \cdot \color{red}{f'(0)} \]

 

• Ein wichtiger Schritt war der Nachweis, dass \(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=f'(0) \) gilt
   
• und damit die Ableitung der Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) an der Stelle \(x_0\) ist gleich dem Produkt aus Funktionswert an der Stelle \(x_0\) und der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(0\) ist.

 

Wir werden im Folgenden einen speziellen Wert der Basis \(a\) kennenlernen, für den die Ableitung der zugehörigen Exponentialfunktion \( \color{red}{a}^x \) besonders einfach zu berechnen ist!

 

 

Existenz einer besonderen Basis

Aus den allgemeinen Eigenschaften von Exponentialfunktionen (Kapitel 10.3) wissen wir, dass die Steigung eines Funktionsgraphen grundsätzlich von der Basis \(a\) der Exponentialfunktion abhängt:

• Je größer die Basis \(a\) gewählt wird, desto größer ist auch die Steigung des Funktionsgraphen!
• Die Abbildungen veranschaulichen diesen Zusammenhang: Der Graph von \(h(x)=3^x\) verläuft steiler als der Graph von \(g(x)=2^x\).

 

Betrachten wir die Steigung der Funktionen im Punkt \(P (0|1\), durch den beide Graphen verlaufen, genauer:

• Der Graph von \(g(x)=2^x\) hat im Punkt \(P\) etwa die Steigung \(g'(x)\approx 0,69\).
• Der Graph von \(h(x)=3^x\) hat im Punkt \(P\) etwa die Steigung \(h'(x) \approx 1,1\).

Es muss also eine Basis \(a\) zwischen den Werten \(2\) und \(3\) gebeen, d.h. \(2<a<3\), für die der Graph dieser Funktion \(f(x)=\color{red}{a}^x\) im Punkt \(P(0|1)\) die Steigung \(f'(0)=1\) hat.

 

Bedeutung für die Ableitung dieser Exponentialfunktion

Für die Berechnung der Ableitung dieser besonderen Exponentialfunktion \(f(x)=\color{red}{a}^x\) an der Stelle \(x_0\) ergibt sich in diesem Fall eine deutliche Vereinfachung:

 \[f'(x_0)=\color{red}{a}^{x_0}\cdot f'(0) = \color{red}{a}^{x_0}\cdot 1 \]

 

Da durch die spezielle Basis a festgelegt ist:   \(f'(0)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{\color{red}{a}^h-1}{h}=1 \)

 

 

Bestimmung der speziellen Basis

 

Im Folgenden bestimmen wir unsere spezielle Basis \( \color{red}{a}\) aufgrund obiger Überlegungen aus der allgemeinen Berechnung der Steigung

\[ \lim \limits_{h \to 0} \frac{\color{red}{a}^h-1}{h}=f'(0)=1 \]

in Bezug auf eine möglichst einfache Ableitung der Exponentialfunktion \(\color{red}{a}^x\) .

 

 

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Prinzipielles Vorgehen:

• Wir legen fest, dass für ein spezielles \(\color{red}{a}\) der Grenzwert \(\lim \limits_{h \to 0} \frac{\color{red}{a}^h-1}{h}=1\)
  gültig sein muss,   (**) 
•  lösen den Term für \(h \to 0\) mit Äquivalenzumformungen nach \(\color{red}{a}\) auf
• und erhalten am Ende über eine Grenzwertbetrachtung diesen speziellen Wert für die Basis \(\color{red}{a}\).

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Überlegungen und Umformungen zur Bestimmung dieser Basis a:
Für \(h \to 0\) soll nach (**) gelten:	\(\frac{a^h-1}{h}\approx 1\)	| \(\cdot h\)
	\(a^h-1\approx h\)	| \(+1\)
	\(a^h \approx h+1\)	| \( \sqrt[h]{....} \)
	\( a \approx (h+1)^{\frac{1}{h}} \)	\( \Rightarrow a= \lim \limits_{h \to 0} (h+1)^{\frac{1}{h}}\)

D.h. falls wir \(h\) Schritt für Schritt gegen 0 gehen lassen, erhalten wir den speziellen Wert für die Basis \(a\), der unserem Wunsch  \(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=1\) aus (**) gerecht wird. 

 

Berechnung der speziellen Basis

Mit Hilfe einer Tabellenkalkulation, alternativ auch mit einem Taschenrechner, können wir unsere Basis für \(h \to 0\) näherungsweise bestimmen. \[e := \lim \limits_{h \to 0} (h+1)^{\frac{1}{h}}=2,718281...\] Unsere spezielle Basis ist die sogenannte Euler'sche Zahl e.

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Ergebnis: Der Grenzwert \(e := \lim \limits_{n \to \infty} (\frac{1}{n}+1)^n=2,7182820...\) bestimmt die sogenannte Euler'sche Zahle e. Legen wir die Euler'sche Zahl e als Basis für unsere Exponentialfunktion fest, dann erhalten wird die sogenannte natürliche Exponentialfunktion mit: \[f(x)=e^x \hspace{10mm} \Rightarrow \hspace{10mm} f'(x)=e^x\] \( \Rightarrow\) "Funktion und Ableitung haben den gleichen Term!"

 

 

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Gegebenenfalls Aufgaben, Zusatzinfos, Quellen,....

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