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11.4 Steigung, Gefälle, Geradengleichung und Trigonometrie

Im Alltag begegnet uns der Begriff der Steigung in vielen Situationen:

  • Bei steilen Fahrbahnabschnitten fordert ein Verkehrsschild häufig zu besonderer Vorsicht auf.
  • Mit \(\small  78 \space \%  \) ist die Harakiri in Mayrhofen eine der steilsten präparierten Skipisten in Österreich.
  • Bei der Tour de France müssen die Radrennfahrer Steigungen bis zu \(\small 18 \space \%\) überwinden.
  • Die aktuell steilste Seilbahn ist der Loen Skylift in Norwegen. Er weist eine maximale Steigung von \(\small 133 \space \%\) auf.

 

Steigung und Steigungswinkel einer Geraden

In der Mathematik gibt die Steigung einer Gerade das Maß der Steilheit einer Geraden an. Für diese Steigung wird häufig der Buchstabe \(\small \color{red}{m}\) in der Geradengleichung verwendet.

\(f:x \mapsto y=\color{red}{m} \cdot x +t \space\)  mit  \(\space m=\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In Abhängigkeit von der Steigung können wir mit Hilfe des Tangens einen charakteristischen Steigungswinkel \(\small \alpha\) der Geraden ermitteln, der durch deren spitzen Schnittwinkel mit der x-Achse beschrieben wird.

 

 

Die Festlegung der Steigung mit dem Steigungsdreieck entspricht genau der Definition des Tangens:

\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=tan \alpha \)

 

Steigungsangaben und deren Bedeutung

In allen Anwendungsbeispielen hat der Steigungsbegriff die gleiche Bedeutung, nur wird sie oft in Prozent angegeben.

  

\( \small 18 \%\) Steigung einer Straße bedeuten beispielsweise, dass

  • Pro Längeneinheit in x-Richtung, also \(\small  \Delta x = 1\), wird in y-Richtung eine Änderung von  \(\small \Delta y = 18 \% =0,18\) vollzogen.
     
  • Oder:
    "Auf \( \small 100\) m in waagrechter Richtung nimmt die Höhe der Straße im Schnitt um \( \small 18\) m zu." 

 

Beispiel:
Welchen Höhenunterschied überwindet die Straße in der Abbildung rechts mit \(\small 33 \space \%\) Steigung.

Berechne den Steigungswinkel \(\small \alpha\) der Fahrbahn.

 

  • \( tan \space \alpha =\frac{h}{600} = \frac{33}{100}  \hspace{10mm} \Rightarrow \hspace {10mm} h= \frac{33}{100} \cdot 600m = 198m\)
     
  • \( tan \space \alpha = \frac{33}{100}  \hspace{10mm} \Rightarrow \hspace{10mm}         \alpha = tan^{-1}   \bigg( \frac{33}{100} \bigg) \approx 34,52°\)