Bisher konnten wir zahlreiche Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durchführen, indem wir
In der Regel müssen wir jedoch Berechnungen an nicht-rechtwinkligen Dreiecken durchführen, was wir bisher nicht ohne Umweg erledigen können.
Bei Berechnungen an Dreiecken, die keinen rechten Winkel aufweisen, zeichnen wir eine Höhe als Hilfslinie in das gegebene beliebige Dreieck ein, erhalten damit einen rechten Winkel und können diese Höhe mit Hilfe der Winkelfunktionen berechnen.
| Berechnung der Höhe \(\small h_c\) mit "Blick" von
Winkel \( \alpha\) oder vom Winkel \( \beta\) aus: \(\hspace{5mm} h_c=b \cdot sin \space \alpha\) \(\hspace{5mm} h_c=a \cdot sin \space \beta\) |
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| Damit können wir folgenden
Zusammenhang erkennen: \(\Rightarrow a \cdot sin \space \beta = b \cdot sin \space \alpha\) \(| : b ; : sin \space \beta\) |
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| \( \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\) | |
Entsprechende Gleichungen erhalten wir, wenn wir statt der Höhe \(h_c\) die Höhen \(h_a\) bzw. \(h_b\) berechnen.
Mit dem Sinussatz können wir nun alle Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen, wenn
| Sinussatz für allgemeine Dreiecke: | |
| Für zwei Seiten und die
Sinuswerte der jeweils gegenüberliegenden Winkel gelten immer
folgende Verhältnisse: \(\hspace{5mm}\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \hspace{5mm}\) oder \(\hspace{5mm}\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\) \(\hspace{5mm}\frac{a}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}\hspace{5mm}\) oder \(\hspace{5mm}\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}\) \(\hspace{5mm}\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}\hspace{5mm}\) oder \(\hspace{5mm}\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\) |
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| Aus den Verhältnissen der rechten Spalte kann man den Sinussatz als eine Formel aufschreiben: | |
| \[ \frac{\color{red}{a}}{\sin \color{red}{\alpha}} = \frac{\color{blue}{b}}{\sin \color{blue}{\beta}}=\frac{\color{green}{c}}{\sin \color{green}{\gamma}} \] |
1. Seitenverhältnisse