Ebenso wie beim Sinussatz, können wir mit dem Kosinussatz Berechnungen an allgemeinen Dreiecken durchführen, wenn wieder drei Stücke eines Dreiecks bekannt sind.
Mit dem Kosinussatz kann folgende typische Aufgabe gelöst werden:
| Merke: Unter allgemeinen Dreiecken verstehen wir solche, die nicht zwingend einen rechten Winkel aufweisen müssen. |
Zur Verbesserung der Verkehrsführung zwischen zwei Orten soll gemäß des unteren Planes ein Tunnel durch einen Berg gebaut werden. Das Straßenbauamt kann von C aus jeweils die Längen der Strecken \( b = 80m\) sowie \(a = 100m\) mit dem dazwischenliegenden Winkel \( \gamma = 65°\) ermitteln.
Mit Hilfe dieser Angaben ist die Länge des Tunnels \(| \overline{AB} | \) zu berechnen.
| Wir betrachten zur Berechnung nur das Dreieck ABC, in das wir die
Höhe \(h_a\) als Hilfsstrecke und die Zerlegung der Strecke a durch
den Höhenfußpunkt F eintragen. Wir erkennen außerdem das neue Muster der gegebenen Stücke:
|
 |
| Für das Dreieck ABC gilt: | \(x=b \cdot cos (\gamma)\) und \(h_a=b \cdot sin(\gamma)\) |
Im Dreieck ABF gilt mit dem Satz des Pythagoras:
| \(\Rightarrow c^2=(a-x)^2+(h_a)^2\) | |
| \(\Rightarrow c^2=a^2-2ax+x^2+(h_a)^2\) | 2. Binomische Formel |
| \(\Rightarrow c^2=a^2-2a \cdot b \cdot \cos (\gamma) +b^2 \cdot cos^2 (\gamma)+b^2 \cdot sin^2(\gamma)\) | mit \(x=b \cdot cos(\gamma)\) und \(h_a=b \cdot sin(\gamma)\) |
| \(\Rightarrow c^2=a^2-2a b \cdot \cos (\gamma) +b^2 \cdot ( cos^2 (\gamma)+ sin^2(\gamma))\) | \(b^2\) ausklammern |
| \(\Rightarrow c^2=a^2 +b^2 -2a b \cdot \cos (\gamma)\) | \(sin^2 \gamma + cos^2 \gamma =1 \) und umstellen |
Im Beispiel erhalten wir somit eine Tunnellänge von:
\(\Rightarrow c^2=(100m)^2 +(80m)^2 -2 \cdot 100m \cdot 80m \cdot \cos (65°) \approx 9638,11m^2 \)
\(\Rightarrow c \approx 98,17m\)
Entsprechende Gleichungen können wir angeben, wenn die Winkel \(\alpha\) bzw. \( \beta\) als eingeschlossene Winkel gegeben sind.
| Kosinussatz: Für beliebige Dreiecke ABC gelten folgende Gleichungen:
|
1.
Seitenverhältnisse