9.2 Funktion und Umkehrfunktion

Eine Funktion \(f:x \mapsto y=f(x)\) ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge \(D_f\) genau einen y-Wert zu. Die Menge aller y-Werte, die sich durch die Berechnung der Funktionswerte ergeben, bilden die Wertemenge \(W_f\) der Funktion \(f\).

 

Prinzip der Umkehrfunktion

 

Die Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Funktion \(f\) wird als \(f^{-1}\) bezeichnet. Sie ordnet jedem
Funktionswert \(y_0\) seinen zugehörigen Wert \(x_0\) zu.

Es gilt also:      \(f(x_0) = y_0 \hspace{1cm} \Leftrightarrow \hspace{1cm} f^{-1}(y_0)=x_0\)

Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) existiert nur, wenn jeder y-Wert der Wertemenge \(W_f\) nur einmal als Funktionswert von \(f\) auftritt.

Beispiel 1: \(f(x)=2x\)	Beispiel 2: \(f(x)=x^2\)

 

Definition: Die Funktion \(f:x \mapsto y=f(x)\) mit \(x \in D_f\) und der Wertemenge \(W_f\) heißt umkehrbar, wenn auch die umgekehrte Zuordnung \(y \mapsto x\) eindeutig ist. Durch sie wird eine Funktion festgelegt, die als Umkehrfunktin \(f^{-1}\) von \(f\) bezeichnet wird. Ein einfaches Merkmal für die Umkehrbarkeit: Es gibt keine Parallele zur x-Achse, die den Graphen der Funktion \(f\) mehr als einmal schneidet!

 

Anmerkung zu den Beispielen:

• Die Funktion von Beispiel 1 ist umkehrbar.
• Die Funktion von Beispiel 2 ist nicht umkehrbar.

 

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