Geogebra

9.6 Graph der Umkehrfunktion

 

Aus den bisher entwickelten Zusammenhängen zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Umkehrfunktion \(f^{-1}\) lässt in der Folge der Graph der Umkehrfunktion entwickeln.

  

Arbeitsweise von Funktion und Umkehrfunktion

\[f(x) =y \hspace{1cm} \Leftrightarrow \hspace{1cm} x= f^{-1}(y)  \]
 
Die linke Gleichung beschreibt die Arbeitsweise der Funktion \(f\): Die rechte Gleichung beschreibt die Arbeitsweise der Umkehrfunktion \(f^{-1}\):

Die Funktion \(f\) berechnet für jedes \(x \in D_f\) eindeutig einen Wert \(y\) und legt dadurch die Wertemenge \(W_f\) fest.
In die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) setzten wir \(y \in W_f=D_{f^{-1}}\) ein und berechnen eindeutig einen Wert \(x\).
Die Ergebnisse der Umkehrfunktion\(f^{-1}\) ergeben wieder  \(D_f=W_{f^{-1}}\).

  

Entwicklung des Graphen der Umkehrfunktion

Das Verständnis dieser umgekehrten Arbeitsweise hilft uns bei der Herleitung des Funktionsterms \(f^{-1}(x) \) und der Entwicklung des Funktionsgraphen \(G_{f^{-1}} \):

 

 

Entwicklung des Funktionsterms:

  • Nimm die Funktionsgleichung \(y=f(x)\) der Funktion \(f\).
  • Löse diese Gleichung nach \(x\) auf.      ("aus einem y wird jetzt ein x berechnet")
  • Vertausche die Variablen \(x\) und \(y\).      ("umgekehrte Arbeitsweise umsetzten")
     
  • Ergebnis ist die Umkehrfunktion \(f^{-1}:x \mapsto y= f^{-1}(x) \)

 

Entwicklung des Funktionsgraphen:

  • Jeder Punkt \( (x|y) \) auf dem Graphen \(G_f\) wird durch Vertauschen der Koordinaten \(x\) und \(y\) zu einem Punkt \( (y|x) \) auf dem Graphen \(G_{f^{-1}} \).
  • Die beiden Graphen \(G_f\) und  \(G_{f^{-1}} \) sind symmetrisch zur Winkelhalbierenden \(y=x\)  des 1. und 3. Quadranten des Koordinatensystems.
  • \(G_{f^{-1}} \) entsteht also aus \(G_f\) durch Achsenspiegelung an der Geraden  \(y=x\), eine direkte Folge der Vertauschung der Koordinaten  \(x\) und \(y\).