9.5 Term der Umkehrfunktion

 

Die Umkehrfunktion einer Funktion \(f\) wird bekanntlich als \(f^{-1}\) bezeichnet. Sie ordnet jedem Funktionswert \(y_0\) seinen zugehörigen Wert \(x_0\) zu.

Es gilt also:      \(f(x_0) = y_0 \hspace{1cm} \Leftrightarrow \hspace{1cm} f^{-1}(y_0)=x_0\)

 

Term bestimmen

Auf dem Weg zur Umkehrfunktion müssen wir folgende Schritte / Überprüfungen durchführen:

• Gibt es jeden Funktionswert nur einmal?
  - Parallelentest
  - Monotonie prüfen
   
• Definitionsbereich der Umkehrfunktion festlegen: \(D_{f^{-1}}=W_f\)
• Funktionsgleichung \(y=f(x)\) nach \(x\)auflösen.
• \(x\) und \(y\) vertauschen

 

Bestimmen des Terms der Umkehrfunktion

Prinzip - Grundlage aller Berechnungen

Ein einfaches Beispiel

Ein Beispiel mit einer Wurzelfunktion

 

Ein Beispiel

\(f(x)=(x+1)^2\)  mit  \(D_f =[-1 , + \infty[ \) Durch den eingeschränkten Definitionsbereich wird sichergestellt, dass der Graph der Funktion \(f\) streng monoton steigt und somit die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) existiert. Es gilt auch:  \( D_{f^{-1}}= W_f = [0; + \infty[ \)
Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion: \(y=(x+1)^2\) \( \sqrt{y} = x+1 \) \( \sqrt{y}-1 = x \)	Auflösen nach x!
\(f^{-1}:x \mapsto y= \sqrt{x}-1 \)	Variablen tauschen!

Funktionsgraphen einzeichnen:

 

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