9.7 Zusammenhang von Funktion und Umkehrfunktion

 

Die Entwicklung des Terms oder auch des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) aus einer gegebenen Funktion \(f\) lässt weitere - größtenteils logische - Schlussfolgerungen zu, aus denen wir weitere wichtige Zusammenhänge zwischen  \(f^{-1}\) und \(f\) entwickeln und festhalten können.

 

Hintereinanderausführung von Funktion und Umkehrfunktion

 

Merke: Falls die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) für eine Funktion \(f\) existiert, dann gilt für die Verkettung beider Funktionen: "Setzt man in die Verkettung aus \(f^{-1}\) und \(f\) einen beliebigen Wert \(x\) aus dem jeweiligen Definitionsbereich ein, dann erhält man genau dieses \(x\) als resultierenden Funktionswert!"   Es gilt also stets:     \(f(f^{-1}(x))=x\)   und      \(f^{-1}(f(x))=x\)

 

 

Ableitung der Umkehrfunktion

Die Ableitung der Umkehrfunktion \( (f^{-1})'\) einer beliebigen Funktion \(f\) lässt sich mit Hilfe der Steigung von \(f\), dargestellt durch eine geeignete Tangente an den Graphen \(G_f\), geometrisch entwickeln!

Basis der Entwicklung ist die Symmetrie der Graphen \(G_f\) und \(G_{f^{-1}} \) bezüglich der Geraden \(y=x\).

 

 

Merke: Die Ableitung der Umkehrfunktion lässt sich mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen: \[ (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

 

Beispiel:

\(f(x)=x^2+2\)   mit   \(f'(x)=2x\)   und   \(f^{-1}(x)= \sqrt{x-2} \)

 
Durch systematisches Einsetzen der Terme ergibt sich:

\[ (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'( f^{-1}(x)) }= \frac{1}{2 \cdot f^{-1}(x) }= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x-2} } \]

 

Die Ableitung der Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-2} \)  kann aufgrund der neuen Formel ohne Anwendung der Kettenregel bestimmt werden.

 

Allgemein gilt: Kennen wir für eine Funktion \(f\) deren Ableitung \(f'\) und deren Umkehrfunktion \(f^{-1} \), dann haben wir mit dieser Formel nun ein Werkzeug um die Ableitung der Umkehrfunktion \( (f^{-1})' \) auch dann zu bestimmen, wenn für die Funktion \(f^{-1} \) keine entsprechende Ableitungsregel bekannt ist!

 

Monotonie von Funktion und Umkehrfunktion

Eine Analyse der Formel zur Berechnung der Ableitung  \( (f^{-1})' \) der Umkehrfunktion aus der Ableitung \(f'\) und der Umkehrfunktion \(f^{-1} \) lässt auch Rückschlüsse auf das grundlegende Monotonieverhalten beider Funktionen zu:

 

 

Grundsätzlich gilt:       \( (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)

 

Der Ausdruck \(f'(f^{-1}(x))\) im Nenner unserer Formel bestimmt offensichtlich für jedes \(x \in D_{f^{-1}} \) das Vorzeichen der Ableitung \((f^{-1})'(x) \).

 

Da unsere Funktion \(f\) umkehrbar ist, können wir festhalten, dass die Funktion

• entweder streng monoton steigend mit \(f'(x)>0\)   ist
• oder streng monoton fallend mit \(f'(x)<0\)   ist.

 

Übertragen wir die Vorzeichenbetrachtung der Ableitung \(f'\) auf die Formel zur Berechnung der Ableitung  \( (f^{-1})' \) der Umkehrfunktion, dann erkennen wir, dass sich das grundsätzliche Monotonieverhalten der Funktion \(f\) auf das Monotonieverhalten der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) überträgt.

\(G_f\) ist s.m.s.  \( \Rightarrow f'(x)>0  \Rightarrow   (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} >0 \Rightarrow G_{f^{-1}}\) ist s.m.s.
 

\(G_f\) ist s.m.f.  \( \Rightarrow f'(x)<0  \Rightarrow   (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} <0 \Rightarrow G_{f^{-1}}\) ist s.m.f.

 

D. h. die Umkehrfunktion \(f^{-1} \) einer streng monoton steigenden (fallenden) Funktion \(f\) ist ebenfalls streng monoton steigend (fallend)!   Das grundlegende Monotonieverhalten ist bei Funktion und Umkehrfunktion gleich!

 

 

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