1.3 Abstandsberechnung von Punkten im Raum

Auf den ersten Blick erscheint die Berechnung des Abstandes zweier beliebiger Punkte im Raum als ein komplexes Problem. Wir können diese Aufgabenstellung mit einem geeigneten räumlichen Quader auf den dreidimensionalen Pythagoras, den wir bereits in der Mittelstufe kennengelernt haben, zurückführen.

Im nachfolgenden Beispiel sind die Punkte \(F(4|1|1)\)  und  \(K(1|5|5)\) gegeben. Der Abstand der Punkte \(F\) und \(K\) ist gleich der Länge der Strecke \( [FK] \).

Aus den Koordinaten der Punkte \(F\) und \(K\) lässt sich folgender Quader mit seinen Eckpunkten entwickeln, die wiederum Grundlage der Abstandsberechnung sind:

 \(A(1|1|1), \space F(4|1|1), \space C(4|5|1), \space P(1|5|1),\)
\(  \space E(1|1|5), \space F(4|1|5), \space G(4|5|5)\) und \(K(1|5|5) \)

 

 

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Berechnung des Abstands der Punkte F und K:

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• Die Kanten der Grundfläche stehen senkrecht aufeinander. Damit kann die grüne Diagonale \(d\) der Grundfläche mit dem Pythagoras berechnet werden:
  
            \(d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5 \)
   
  Die jeweilige Kantenlänge können wir direkt aus den \(x_1-\) und \(x_2\)-  Koordinaten der Punkte F und K bestimmen:
  
      \(k_2 - f_2=5-1=4\)  und  \(k_1-f_1=-3\)
  

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• Die grüne Diagonale und die blaue senkrechte Strecke stehen wieder senkrecht aufeinander.
  
  \(\Rightarrow\)  Pythagoras: \(d(F;K)= \sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\approx 6,4 \)
   
  Die Länge der blauen senkrechten Strecken können wir ebenfalls aus der \(x_3\)-Koordinate der beiden Punkte bestimmen:
   
     \(k_3-f_3=5-1=4 \)

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Allgemeine Berechnung des Abstandes zweier Punkte

Sind zwei Punkte \(P(p_1|p_2|p_3) \) und \(Q(q_1|q_2|q_3) \) gegeben, dann können wir mit Hilfe der Vorstellung eines Quaders die allgemeine Formel zur Abstandsberechnung ermitteln:

• Für die Länge der Diagonale \(x\) der Grundfläche ergibt sich:
   
  \(x^2=(q_2-p_2)^2+(q_1-p_1)^2\)
   
• Für die Berechnung der Raumdiagonalen \(d\) erhalten wir dann:
   
  \(d^2=x^2+(q_3-p_3)^2 =(q_2-p_2)^2+(q_1-p_1)^2+(q_3-p_3)^2 \)

 

Der Abstand \(d(P;Q) \) zweier Punkte \(P(p_1|p_2|p_3) \) und \(Q(q_1|q_2|q_3) \) im \(R^3\) lässt sich folgendermaßen berechnen: \(d(P;Q)=\sqrt{(q_2-p_2)^2+(q_1-p_1)^2+(q_3-p_3)^2} \)

 

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