In der folgenden Abbildung ist die Pyramide ABCDS durch die Punkte \(A(5,1,0), \space B(5,5,0), \space C(3,5,0)\), \space D(3,1,0) und \(S(4,3,3)\) eindeutig festgelegt.
Die Lage der Pyramide im Raum soll nun verändert werden, indem sie in \(x_1\)-Richtung um \(-5\), in \(x_2\)-Richtung um \(3\) und in \(x_3\)-Richtung um \(2\) verschoben wird.
Die Verschiebung der Pyramide kann durch die Verschiebung der Eckpunkte realisiert werden, was folgende zwei Abbildungen veranschaulichen.
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Eine solche Verschiebung schreibt man in der Mathematik kürzer durch die drei Zahlen \(-5, 3,2\) in der sogenannte Vektorschreibweise
\( \vec{v} = \left( \begin{array}{c} -5 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) \)
| Definition: Unter einem Vektor versteht man ein Tripel \( \vec{v} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \) reller Zahlen. Dabei werden \(a_1, a_2\) und \(a_3\) als Koordinaten des Vektors \( \vec{v} \) bezeichnet. Jeder Vektor \( \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \) lässt sich geometrisch als Verschiebung im Raum interpretieren. |
Jeder beliebige Punkt im Raum kann durch die Angabe eines Vektors entsprechend verschoben werden. In der folgenden Abbildung wird neben der Pyramide ABCDS beliebiger Punkt \(P\) durch dem Vektor \( \vec{v} = \left( \begin{array}{c} -5 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) \) verschoben.
Wir erhalten dadurch den Punkt \(Q\) mit den entsprechend veränderten Koordinaten:
Das Applet zeigt die Verschiebung der Pyramide ABCDS mit zwei unterschiedlichen Vektoren:
\( \vec{v}_{rot} = \left( \begin{array}{c} -5 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) \) und \( \vec{v}_{blau} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ -2 \end{array}\right) \)