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3.2.1 Ebenengleichung aus drei Punkten

Aus drei Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) können wir eindeutig eine Ebenengleichung \(E\) bestimmen, wenn diese drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Man sagt auch: Die Punkte  \(A\), \(B\) und \(C\) dürfen nicht kollinear liegen.

 

Kollinearität erkennen:

Sind zwei beliebige Verbindungsvektoren zwischen jeweils zwei der Punkte \(A\), \(B\) und \(C\)  Vielfache voneinander, dann sind die Punkte kollinear.

 

Kollinearität  Nichtkollinearität 

 Punkte sind kollinear

Punkte sind nicht kollinear 

  Rechnerischer Nachweis:

\(\vec{AB} = \lambda \cdot \vec{AC}\) \(\Leftrightarrow\) Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) sind kollinear. Eine Ebenengleichung kann daher nicht aufgestellt werden.
 

Mit drei und mehr kollinearen Punkten kann nur eine Gerade festgelegt werden.

 

Aufstellen einer Ebenengleichung durch drei Punkte 

Aus drei Punkten  \(A\), \(B\) und \(C\) , die nicht kollinear sind, lässt sich sehr schnell eine Parameterform der Ebene \(E\) aufstellen, in der die drei Punkte liegen. 

Wir wissen, dass dazu einer der Punkte als Aufpunkt gewählt und zwei Richtungsvektoren bestimmt werden müssen.

 

Wir wählen für die Ebene \(E\)  beispielsweise

  •  den Vektor \(\vec{a}\) als Stützvektor zum Aufpunkt \(A\)
  • und als Richtungsvektoren, die Verbindungsvektoren \( \vec{AB}\)  sowie \( \vec{AC} \)  vom Aufpunkt \(A\)  zu den Punkten  \(B\) und \(C\)
     
  • und erhalten als Parameterform der Ebene:

\(PF(E): \vec{X}=  \vec{a}+\lambda \cdot  \vec{AB}  + \mu \cdot   \vec{AC} \)

Aufgaben

1. Bestimme jeweils eine Parameterform der Ebene, in der die drei Punkte liegen:

a)   \(R(-2|3|-3), \space S(0|1|-2), \space T(1|2|1) \)

b)   \(P(1|-2|2), \space Q(2|-4|4), \space R(4|-5|8) \) 

 

2. Liegen die Punkte  \(A(2|2|1), \space B(-2|3|-4), \space C(-10|-10|-5) \) in der Ebene E?

 

\[PF(E): \hspace{5mm} \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\  -2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\  -1 \end{array}\right) +\mu \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \]

\(\space \lambda, \mu \in R\)