2.1 Geradengleichung im \(R^3\)

Zur Festlegung einer Gerade im Raum benötigen wir einen Punkt \(A\) der Geraden und eine Richtung, in die diese Gerade im Raum verläuft. Diese Voraussetzungen zum Aufstellen der Geradengleichungen sind erfüllt,

• wenn wir entweder einen Punkt der Geraden und deren Richtung
• oder zwei Punkte der Gerade kennen.

 

Die Parametergleichung einer Geraden im Raum

Folgendes Applet verdeutlicht die Struktur der Geradengleichung  \(g: \vec{X}=\vec{a} + \lambda \cdot \vec{b} \)  im Raum.

• Vom Koordinatenursprung gelangt man mit dem Vektor \(\vec{a}\) auf die Gerade \(g\). Dieser Ortsvektor \( \vec{a}\) legt den sogenannten Aufpunkt A der Geraden g fest.
• Der Vektor \( \vec{b}\) gibt die Richtung der Geraden g an und wird als Richtungsvektor bezeichnet.
   
• Erläuterung der Geradengleichung:
  Durch die Vektoraddition \(\vec{a}+ \lambda \cdot \vec{b} \) gelangt man zu jedem Punkt \(X\) der Geraden. Dazu wird mit \(+\lambda \cdot \vec{b} \)  ein beliebiges Vielfaches des Vektors \(\vec{b}\) zum Ort des Punktes \(A\) addiert, wodurch jeder Punkt der Geraden dargestellt werden kann.
   
  Beachte:
  Für einen negativen Wert von \( \lambda \) ändert sich die Orientierung des Richtungsvektors!

 

Die Idee der Geradengleichung um Raum

Wähle einen Startpunkt A, den sogenannten Aufpunkt A, für die Gerade g aus und addiere dazu beliebige Vielfache des Vektors \(\vec{b} \), der die Richtung der Geraden festlegt und daher auch als Richtungsvektor bezeichnet wird. Auf diese Weise erhältst du alle möglichen Punkte \(X\) der Geraden g.

\(\vec{X}\) bezeichnet dabei jeweils den Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt \(X\) der Geraden g.
 

Definition einer Geraden im Raum Jede Gerade g im \(R^3\) lässt sich durch die Gleichung \[g: \vec{X}=\vec{a}+\lambda \cdot \vec{b} \] mit dem Parameter \( \lambda \in R \) beschreiben und wird als Parameterform der Geraden g bezeichnet. \(\vec{a}\) ist der Ortsvektor eines Punktes \(A\) der Geraden g. Dieser Punkt A wird als Aufpunkt von g bezeichnet. \( \vec{b}\) ist ein Richtungsvektor von g. \(\vec{X}\) ist der Ortsvektor zu einem Punkt \(X\) der Geraden g.

 

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