Unter bestimmten Bedingungen können Geraden im \(R^3\) parallel zu einer der drei Koordinatenebenen verlaufen.
In diesem Fall besitzt die Geraden nur noch zwei Spurpunkte.
| \( g \parallel x_1x_2-Ebene\) | \( g \parallel x_2x_3-Ebene\) | \( g \parallel x_1x_3-Ebene\) |
 |
 |
 |
| Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\) |
Spurpunkte \(S_{12}\) und \(S_{23}\) |
Spurpunkte \(S_{12}\) und \(S_{23}\) |
|
Merke: Verläuft eine Gerade im \(R^3\) parallel zu einer Koordinatenebene, dann ist eine Koordinate des Richtungsvektors gleich Null.
Die Koordinaten des Richtungsvektors, die ungleich Null sind, bestimmen die Ebene, zu der die Gerade parallel verläuft. |
Mit Hilfe der Berechnung der möglichen Spurpunkte kann die Parallelität der Geradengleichung zu einer Koordinatenebene ebenfalls bestimmt werden, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel:
\(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)
| Berechnung von: | |
| \(S_{12} \hspace{5mm}\Rightarrow x_3=0 \) | \(-1+ \lambda =0 \hspace{2mm}\Rightarrow \lambda=1\hspace{15mm} \Rightarrow S_{12}(2|3|0)\) |
| \(S_{13} \hspace{5mm}\Rightarrow x_2=0 \) | \(4- \lambda =0 \hspace{7mm}\Rightarrow \lambda=4 \hspace{15mm}\Rightarrow S_{13}(2|0|3)\) |
| \(S_{23} \hspace{5mm}\Rightarrow x_1=0 \) | \(2+ 0 \cdot \lambda =0 \hspace{2mm} \Rightarrow\) Nicht möglich! |
| Es existiert kein
Schnittpunkt \(S_{23} \) mit der
\(x_2x_3-\)Koordinatenebene, d.h. die Gerade \(g\) verläuft dazu
parallel! |
|
Das Muster der Berechnung und Schlussfolgerungen kann auf beliebige Geraden übertragen werden.
4.1 Ursprungsgerade