2.3 Spurpunkte von Geraden

Als Spurpunkte einer Geraden werden ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen bezeichnet. Diese Schnittpunkte werden auch als Durchstoßpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bezeichnet.

Anzahl der Spurpunkte
Je nach Lage im Koordinatensystem kann eine Gerade ein bis drei Schnittpunkte (Spurpunkte) mit den Koordinatenebenen haben.

• \(S_{12}\)  bezeichnet den Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene.
• \(S_{23}\)  bezeichnet den Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene
• \(S_{13}\)  bezeichnet den Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene

 

 

Beispiel: 

Lage der Geraden \(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ -1  \end{array}\right) + \lambda \cdot  \left( \begin{array}{c} -6 \\ -4 \\ 3  \end{array}\right)  \)  und ihre Spurpunkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Jeder Spurpunkt hat entsprechend seiner Lage in einer der Koordinatenebene eine Koordinate gleich \(0\):

• \(S_{12}\) liegt in der \(x_1x_2\) - Ebene, daher gilt für seine \(x_3\)-Koordinate: \(x_3=0\).
• \(S_{23}\) liegt in der \(x_2x_3\) - Ebene, daher gilt für seine \(x_1\)-Koordinate: \(x_1=0\).
• \(S_{13}\) liegt in der \(x_1x_3\) - Ebene, daher gilt für seine \(x_2\)-Koordinate: \(x_2=0\).

 

Beispielhafte Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Gerade  \(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2  \end{array}\right) + \lambda \cdot  \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2  \end{array}\right)  \)

• Berechne die Spurpunkte (Durchstoß) der Geraden \(g\)!
• ODER: In welchen Punkten schneidet die Gerade \(g\) die Koordinatenebenen?

Für beide Fragestellungen führt das nachfolgende Muster zum Ziel!

 

Berechnung vom Spurpunkt \(S_{12}\)
Es gilt: \(x_3=0\):   \(-2-2 \lambda =0 \Rightarrow \lambda =-1\)	Über die \(x_3\) - Koordinate der Geradengleichung muss der \( \lambda\)- Wert berechnet werden, damit die \(x_3\) - Koordinate \(0\) wird.
\(\vec{S_{12}}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2  \end{array}\right) -1 \cdot  \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2  \end{array}\right) =  \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0  \end{array}\right)\) \(\hspace{10mm} \Rightarrow S_{12}(1|2|0) \)	Mit diesem Wert für \( \lambda\) kann der Spurpunkt \(S_{12}\) durch Einsetzen in die Geradengleichung berechnet werden.

 

Berechnung vom Spurpunkt \(S_{13}\)
Es gilt: \(x_2=0\):   \(1- \lambda =0 \Rightarrow \lambda =1\)	Über die \(x_2\) - Koordinate der Geradengleichung muss der \( \lambda\)- Wert berechnet werden, damit die \(x_2\) - Koordinate \(0\) wird.
\(\vec{S_{13}}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2  \end{array}\right) +1 \cdot  \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2  \end{array}\right) =  \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -4  \end{array}\right)\) \(\hspace{10mm} \Rightarrow S_{13}(3|0|-4) \)	Mit diesem Wert für \( \lambda\) kann der Spurpunkt \(S_{13}\) durch Einsetzen in die Geradengleichung berechnet werden.

 

Berechnung vomSpurpunkt \(S_{23}\)
Es gilt: \(x_1=0\):   \(2+ \lambda =0 \Rightarrow \lambda =-2\)	Über die \(x_1\) - Koordinate der Geradengleichung muss der \( \lambda\)- Wert berechnet werden, damit die \(x_1\) - Koordinate \(0\) wird.
\(\vec{S_{23}}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2  \end{array}\right) -2 \cdot  \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2  \end{array}\right) =  \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2  \end{array}\right)\) \(\hspace{10mm} \Rightarrow S_{23}(0|3|2) \)	Mit diesem Wert für \( \lambda\) kann der Spurpunkt \(S_{23}\) durch Einsetzen in die Geradengleichung berechnet werden.

 

Spurpunkte und Lage einer Geraden im KOSY

Indem wir die Spurpunkte einer Geraden in ein Koordinatensystem eintragen, können wir uns mit einer Skizze schnell einen Überblick über die Lage der Geraden im Koordinatensystem machen.

Dazu trägt man die berechneten Spurpunkte (Durchstoßpunkte) jeweils in die entsprechende Koordinatenebene ein und zeichnet mit deren Hilfe ein ungefähres Bild der Geraden.

 

 

 

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