Verläuft eine Geraden durch den Ursprung \(O(0|0|0) \) des Koordinatensystems, dann wird diese als Ursprungsgerade bezeichnet.
Der Koordinatenursprung \(O(0|0|0) \) ist dann der einzige Spurpunkt der Geraden.
Wird bei einer Geradengleichung der Koordinatenursprung \(O(0|0|0) \) als Aufpunkt gewählt, dann ist die Ursprungsgerade schnell identifiziert:
\(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) =\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \) mit \(\lambda \in R\)
Die Geradengleichung besteht in diesem Fall lediglich aus dem Produkt des
Parameters, in unserem Fall \(\lambda\), und dem zugehörigen Richtungsvektor.
Hat die Gerade einen vom Ursprung \(O(0|0|0) \) verschiedenen Punkt \(A(a_1|a_2|a_3) \) als Aufpunkt, dann ist sie genau dann eine Ursprungsgerade, wenn der Ortsvektor \(\vec{a}\) zum Aufpunkt \(A\) und der Richtungsvektor \(\vec{b}\) Vielfache voneinander sind.
Dargestellt ist hier die Gerade \(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \) mit \(\lambda \in R\)
\(\hspace{50mm} \) Es gilt:\(\hspace{12mm} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0,5 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \)
D.h. Der Ortsvektor zum Aufpunkt der Geraden und deren Richtungsvektor sind Vielfache voneinander und damit muss die Gerade eine Ursprungsgerade sein.
Alternative Prüfung mit einer Punktprobe:
Man kann auch mit einer Punktprobe prüfen, ob der Koordinatenursprung \(O(0|0|0) \) auf der Geraden liegt:
| \(\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \) | Ist offensichtlich richtig für \(\lambda=-0,5\) |
4.1 Ursprungsgerade