2.4 Besondere Lagen von Geraden im KOSY

Im Kapitel 2.3 haben wir gesehen, dass die Lage einer Geraden im Koordinatensystem mit Hilfe der Spurpunkte sehr schnell verdeutlicht werden kann.

Beispiel: Gerade \(g: \vec{X}= \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ -1  \end{array}\right) + \lambda \cdot  \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 2  \end{array}\right)  \)

 

Die Spurpunkte der Geraden \(g\) verdeutlichen deren Lage im Raum:

\(g \cap x_1x_2 -\) Ebene: \(x_3=0\)  \( \Rightarrow \lambda = -1,5 \space \Rightarrow \space S_{12}(3|-1,5|0) \) \(g \cap x_1x_3 -\) Ebene: \(x_2=0\)  \( \Rightarrow \lambda = 1 \hspace{10mm} \Rightarrow \space S_{13}(2|0|1) \) \(g \cap x_2x_3 -\) Ebene: \(x_1=0\)  \( \Rightarrow \lambda = 2 \hspace{10mm} \Rightarrow \space S_{23}(0|3|3) \)

Übung: Selbstständig die Spurpunkte nachrechnen und die Skizze anfertigen!

 

Das vorherige Beispiel zeigt eine Gerade, die drei Spurpunkte besitzt. Solche Geraden verlaufen beliebig "schief" im Koordinatensystem.

 

Beschreibung spezieller Lagen von Geraden

Je nach Lage im Koordinatensystem besitzt eine Gerade unterschiedlich viele Spurpunkte:

1. Drei Spurpunkte   \(\hspace{11mm} \Leftrightarrow\)  Gerade liegt "schräg" im Koordinatensystem
2. Zwei Spurpunkte   \(\hspace{10mm} \Leftrightarrow\)  Gerade verläuft parallel zu einer Koordinatenebene
3. Ein Spurpunkt   \(\hspace{15mm} \Leftrightarrow\)  Gerade verläuft parallel zu einer Koordinatenachse
    \(\hspace{51mm} \)  oder die Gerade ist eine Ursprungsgerade

 

Die bisherigen Beispiele behandelten lediglich den 1. Fall. Ziel der nachfolgenden Ausführungen ist es, die Fälle 2 und 3 anhand von geeigneten Skizzen und Beispielen plausibel zu machen, um in Zukunft aus dem gegebenen Term einer Geraden, auf deren Lage im KOSY zu schließen.

 

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