3.4.1.1 Lage eines Punktes bzgl. einer Geraden

Betrachten wir noch einmal die Struktur der Geradengleichung in der Vektorgeometrie:

• Für jeden Wert \(k \in R\) beschreibt die Parameterform einer Geraden exakt den Weg vom Koordinatenursprung zu einem eindeutigen Punkt \(P\) auf der Geraden.
• Die Menge aller so erreichbaren Punkte bilden am Ende die Gerade \(g\).

 

Punktprobe mit einer Geraden

• Bei einer Punktprobe wollen wir einen Wert für \(k\) so bestimmen,
• dass die Gerade \(g\) einen gegebenen Punkt \(Q\) genau erreicht.
• Wir setzten dazu den Ortsvektor des Punktes \(Q\) an die Stelle des Vektors \(\vec{X}\) der Geradengleichung
• und prüfen koordinatenweise, ob es einen Wert für \(k\) gibt, dass die Gleichung erfüllt ist.

  

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Beispiel:  Liegen die Punkte \(\small A(9|-3|5)\)  und \(\small B(-3|-2|9)\)  auf

der Geraden   \(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1  \end{array}\right)  + k \cdot  \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2  \end{array}\right)  \)

Prüfe die Lage von Punkt A:
\( \left( \begin{array}{c} 9 \\ -3 \\ 5  \end{array}\right)  =\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1  \end{array}\right)  + k \cdot  \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2  \end{array}\right)  \)	\( \small k=2\) \( \small k=2\) \( \small k=2\)
	\(\Rightarrow A\)  liegt auf \(g\)

 

Prüfe die Lage von Punkt B:
\( \left( \begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 9  \end{array}\right)  =\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1  \end{array}\right)  + k \cdot  \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2  \end{array}\right)  \)	\( \small k=-2\) \( \small k=1\) Bereits an der zweiten Koordinate bekommen wir einen Widerspruch!
	\(\Rightarrow A\)  liegt nicht auf \(g\)

 

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