Liegen Ebene und Gerade in Parameterform vor, dann setzten wir grundsätzlich die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleich.
Die jeweilige Lagebeziehung ergibt sich aus der Lösungsvielfallt des Gleichungssystems. Wir erhalten entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen.
Gegeben ist die Gleichung einer Ebene \(\small E: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \)
Im Folgenden untersuchen wir die Lage gegebenen Geraden gegenüber dieser Ebene E indem wir beide Gleichungen gleichsetzen, das Gleichungssystem nach Möglichkeit und das Ergebnis wieder geometrisch deuten:
\(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) + k \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \hspace{5mm} \)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen:
\(\small\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array}\right) + k \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \hspace{5mm}\)
Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:
| I) II) III) |
\(3r-3s+k=-5\) \(2r+2s-2k=2\) \(2s+3k=-6\) |
2 \(\cdot\) I) \(-\)3\(\cdot\) II) \(-12s+8k=-16 \space \)
(IV) 6 \(\cdot\) III) \(12s+18k=-36 \) (V) IV) + V) \( 26k =-52 \Rightarrow \color{red}{k=-2}\) Damit können wir \(r=-1\) und \(s=0\) bestimmen! |
| Einsetzen von \(\small k=-2\) in g
oder \(r=-1\) und
\(s=0\) in E: |
\(S(0|-1|2)\) Es genügt eine Berechnung!!! |
|
| Wir erhalten unter Verwendung aller drei Gleichungen
ein eindeutiges Ergebnis und können daher den Schnittpunkt
bestimmen! |
||
\(\small h: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right) + l \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen:
\(\small\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right) + l \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \hspace{5mm}\)
Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:
| I) II) III) |
\(3r-3s=0 \hspace{3mm}
\Rightarrow r=s\) \(2r+2s-2l=-6\) \(2s-l=-3 \hspace{3mm} \Rightarrow l=2s+3\) |
Einsetzen von r und s in II) \(\Rightarrow 2s+2s-4s-6=-6\) \(\Rightarrow 0 = 0 \) |
| Egal welchen Wert wir für \(r\) wählen, wir können wegen \(r=s\) den Wert für \( l\) damit berechnen und die dritte Gleichung ist auf jeden Fall erfüllt! | ||
| Es gibt unendlich viele Lösungen: g verläuft in E | ||
\(\small k: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + m \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen:
\(\small\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + m \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \hspace{5mm}\)
Wir erhalten folgendes Gleichungssystem:
| I) II) III) |
\(3r-3s-3m=-2\) \(2r+2s-4m=-4\) \(2s-m=-1 \hspace{3mm} \Rightarrow m=2s+1\) |
2 \(\cdot\) I) \(
6r-6s-6m=-4\) (IV) 3 \(\cdot\) II) \(6r+6s-12m=-12\) (V) (IV) \(-\) (V) \(-12s+6m=8\) |
| Mit \(m=2s+1\) erhalten wir: | \(-12s+12s+6=8\) \(\hspace{33mm} \color{red}{0=2}\) |
|
| Wir erhalten einen Widerspruch und daher keine Lösungen: g verläuft parallel zu E | ||
1. Allg. Geradenpunkt KF