Die Parameterform \( \small PF(E)\) einer Ebene \(\small E\) wird stets eindeutig festgelegt durch einen Aufpunkt \(\small A\) und zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).
\(\small PF(E): \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) +r \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \) mit \(\small r,s \in R\)
Aus diesen Informationen müssen wir auf dem Weg zur Normalenform \(\small NF(E)\) zwei Bausteine erarbeiten:
Normalenvektor mit Kreuzprodukt
Normalenvektor mit Skalarprodukt und Gleichungssystem
Wir wissen: Der Normalenvektor \(\vec{n}\) muss senkrecht auf den beiden gegebenen Richtungsvektoren \( \vec{u}\) und \( \vec{v} \) der Ebene \(\small E\) liegen.
| Variante 1: Eigenschaften übersetzen | Variante 2: Kreuzprodukt |
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Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist stets 0! \(\Rightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \perp \vec{u} \hspace{10mm}\)
und \(\hspace{5mm} \vec{n} \perp \vec{v}\) \(\small \left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) =0\) und \(\small \left( \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) =0\) I) \(-n_1+n_2+2n_3=0\)
In diesem unterbestimmten Gleichungssystem haben wir eine Variable mehr als Gleichungen. Daher können wir eine Variable frei wählen. Wir wählen \(n_1=1\) und setzen ein: I) \(-1+n_2+2n_3=0\) \(\Rightarrow n_2=1-2n_3\) in II) II) \(1+2-4n_3+3n_3=0\) \(\hspace{3mm} \Rightarrow n_3=3\) \( \hspace{10mm} \Rightarrow \vec{n}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right) \) |
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \( \vec{u}\) und \( \vec{v} \) liefert stets einen Vektor \(\vec{n}\) der senkrecht auf diesen beiden Vektoren steht. \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)\(\small \hspace{5mm} = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array}\right) \) \(\small \hspace{5mm} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 1\cdot 3-2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1- (-1) \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \end{array}\right) \)
\( \small \hspace{10mm} \Rightarrow \vec{n}= \left( \begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -3 \end{array}\right)=(-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right)\)
Anmerkung: Beide Ergebnisse sind also geeignete Normalenvektoren, da sie Vielfache zueinander sind!
Wir wählen als Normalenvektor: \( \hspace{10mm} \Rightarrow \vec{n}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right) \) |
Die allgemeine Normalenform lautet: \(\hspace{10mm} \small NF(E): \hspace{3mm} \vec{n} \circ \biggl\lbrack \vec{X} - \vec{A} \biggr\rbrack =0\)
Den Ortsvektor \(\vec{a}\) zum Aufpunkt \(\small A\) können wir unmittelbar aus der Parameterform unserer Ebenengleichung entnehmen
\(\small PF(E): \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) +r \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} \large \vec{a} \small=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \)
und erhalten mit dem berechneten Normalenvektor \(\vec{n} \) sofort die Normalenform \(\small NF(E)\) unserer Ebenengleichung:
\(\small NF(E): \space \left( \begin{array}{c} 1 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right) \circ \Biggl\lbrack \vec{X} - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \Biggr\rbrack =0 \)
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