Aus der Normalenform \(\small NF(E)\) einer Ebene können wir direkt einen Punkt A der Ebene , den sogenannten Aufpunkt und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) ablesen.
Allgemeine Normalenform: \(NF(E): \space \vec{n} \circ \biggl \lbrack \vec{X}-\vec{A} \biggr \rbrack =0 \)
Für die Umformung in die Parameterform \(\small PF(E): \normalsize \space \vec{X}= \vec{a}+r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \) mit \(\small r, s \in R \) benötigen wir
Gegeben ist folgende Ebene E in Normalenform: \( \small NF(E): \space \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \circ \biggl \lbrack \vec{X}-\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \biggr \rbrack =0 \)
Der Ortsvektor \(\vec{a}\) zum Aufpunkt A kann aus der Normalenform direkt abgelesen werden:
\(\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
Für die Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) müssen zwei Vektoren bestimmt werden, die jeweils senkrecht zum Normalenvektor \( \vec{n}\) der Ebene E verlaufen.
| Merke: Je zwei Vektoren sind genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt! |
Für die gegebene Ebene erhalten wir somit folgende Zusammenhänge:
| \(\vec{n}
\perp \vec{u} \space \Leftrightarrow \space \vec{n} \circ \vec{u}=0\) \( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) =0\) \(u_1+3u_2-2u_3=0\) |
\(\vec{n} \perp \vec{v} \space
\Leftrightarrow \space \vec{n} \circ \vec{v}=0\) \( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) =0\) \(v_1+3v_2-2v_3=0\) |
| Wir erhalten für
jeden der beiden Richtungsvektoren jeweils
eine Gleichung mit drei Unbekannten. Wir
können daher jeweils zwei Koordinaten frei wählen und müssen nur
aufpassen, dass die sich ergebenden
Richtungsvektoren keine Vielfachen
zueinander sind. |
|
| \(u_2=1\) \(u_3=1\) \( \Rightarrow u_1+3-2=0 \space \Rightarrow u_1=-1\) |
\(v_2=1\) \(v_3=-2\) \( \Rightarrow v_1+3+4=0 \space \Rightarrow u_1=-7\) |
| \(\Rightarrow \vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \) | \(\Rightarrow \vec{v}=\left( \begin{array}{c} -7 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) \) |
Damit erhalten wir folgende Parameterform:
\(PF(E): \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -7 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)\)
5.1 PF(E) ➥ NF(E)