3.5.3 Von der Koordinatenform zur Normalenform

Auch wenn beide Ebenenformen grundsätzlich sehr unterschiedlich  aussehen, so ist die Umformung von der Koordinatenform \(\small KF(E)\) in die Normalenform \(\small NF(E)\)  eine relativ überschaubare Aufgabe.

Beide Ebenenformen sind charakteristisch durch den offensichtlich erkennbaren Normalenvektor \( \vec{n}\) und die Normalenform verlangt zusätzlich einen Aufpunkt A, den wir jedoch problemlos mit der Koordinatenform bestimmen können.

Normalenvektor erkennen

Die allgemeine Koordinatenform ist gegeben durch die Gleichung:

 \(\small KF(E): \space \color{red}{n_1}x_1+\color{red}{n_2}x_2+\color{red}{n_3}x_3+n_0=0\)

Die Faktoren (Koeffizienten) vor den Koordinaten \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) bestimmen den Normalenvektor \( \color{red}{\vec{n}}\) der Ebenengleichung.

Dieser Normalenvektor \(\color{red}{\vec{n}}\) kann unmittelbar in die Gleichung der Normalenform übernommen werden:

 \(\small NF(E): \space \color{red}{\vec{n}} \circ \biggl \lbrack \vec{X}-\vec{A} \biggr\rbrack  =\left( \begin{array}{c} \color{red}{n_1} \\ \color{red}{n_2} \\ \color{red}{n_3}  \end{array}\right)  \circ  \Biggl\lbrack \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{array}\right) -  \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{array}\right) \Biggr\rbrack =0 \)

Aufpunkt bestimmen erkennen

Damit reduziert sich die Aufgabe auf das bestimmen eines geeigneten Punktes der Ebene E. Genau dieser Punkt ist eine Stärke der Koordintenform, denn wir müssen lediglich die Koordinaten eines Punktes A so bestimmen, dass die Koodinatenform erfüllt ist.

Beispiel zur Umwandlung der KF(E) in die NF(E)

Gegeben ist die Koordinatenform:  \(\small KF(E): \space \color{red}{-2}x_1+\color{red}{3}x_2+\color{red}{4}x_3+12=0 \)

Schritt 1: Normalenvektor ablesen 
Wir erhalten als Normalenvektor der Ebene somit   \(\color{red}{\vec{n}}=\left( \begin{array}{c} \color{red}{-2} \\ \color{red}{3} \\ \color{red}{4}  \end{array}\right)\)

Schritt 2: Aufpunkt bestimmen
Wir müssen nun lediglich einen Punkt A bestimmen, der in der Ebene E liegt, d.h. dessen drei Punktkoordinaten so bestimmen, dass die Koordinatenform erfüllt ist.

Dazu legen wir beliebige zwei der Koordinaten willkürlich fest und lösen die Gleichung nach der verbleibenden dritten Koordinate auf:

Wir legen beispielsweise  \(x_1=1\)  und  \(x_2=2\) fest:

\(-2 \cdot 1 +3 \cdot 2 +4x_3+12=0 \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}x_3=-4\)

Schritt 3: Ebenengleichung angeben
Damit haben wir einen Punkt \(A(1|2|-4) \) der Ebene bestimmt, den wir als Aufpunkt A für die Normalenform festlegen: