Mit der Koordinatenform \(\small KF(E)\) einer Ebene können sehr schnell beliebige Punkte bestimmt werden, die in der Ebene liegen.
Die allgemeine Koordinatenform: \(\small KF(E): \space n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+n_0=0 \)
Erfüllen die Koordinaten eines Punktes \( \small P(p_1|p_2|p_3) \) die Ebenengleichung, dann liegt der Punkt in der Ebene.
Ebene mit drei Spurpunkten
Ebene mit zwei Spurpunkten, d.h. parallel zu einer Achse
Bestimmen wir drei Punkte der Ebene, die nicht kollinear sind, dann können wir nach gewohntem Muster die Ebenengleichung ein Parameterform aufstellen. Dabei wählen wir einen der drei Punkte als Aufpunkt und berechnen mit den beiden anderen Punkten zwei Richtungsvektoren der Ebene.
Beispiel: \(\hspace{10mm} KF(E): \space 2x_1+4x_2-x_3+8=0 \)
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Variante 1: Bestimme beliebige Punkte Bei der Bestimmung beliebiger drei Punkte der Ebene wählen wir zwei Koordinaten eines Punktes beliebig aus und berechnen die dritte so, dass die Ebenengleichung erfüllt wird. Dabei dürfen die drei Punkte keinesfalls kollinear liegen, da sonst die Richungsvektoren Vielfache voneinander wären. Bestimme drei beliebige Punkte A, B und C der Ebene: \(A(1|1|x_3) \), \(B(1|2|x_3)\), \(C(0|3|x_3)\) Einsetzten der gegebenen Koordinaten in die KF(E) und auflösen nach der unbekannten Koordinate ergibt: \(A\): \(2+4-x_3+8=0 \Rightarrow A(1|1|14)\) \(B\): \(2+8-x_3+8=0 \Rightarrow B(1|2|18)\) \(C\): \(0+12-x_3+8=0 \Rightarrow C(0|3|20)\)
Wir können nun als Parameterform festlegen: \(\small PF(E): \space \vec{X}=\vec{A}+r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} \) \(\hspace{20mm} \small =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 14 \end{array}\right) +r \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right) \) |
Variante 2: Bestimme Spurpunkte Bestimme alle möglichen Spurpunkte der Ebene. Falls keine drei Spurpunkte zu bestimmen sind, berechen weitere beliebige Punkte der Ebene. \(S_1(x_1|0|0) \), \(S_2(0|x_2|0)\) und \(S_3(0|0|x_3) \) Einsetzten der gegebenen Koordinaten in die KF(E) und auflösen nach der jeweiligen unbekannten Koordinate ergibt: \(S_1\): \(2x_1+0-0+8=0 \Rightarrow S_1(-4|0|0)\) \(S_2\): \(0+4x_1-0+8=0 \Rightarrow S_2(0|-2|0)\) \(S_3\): \(0+0-x_3+8=0 \Rightarrow S_3(0|0|8)\)
Damit erhalten wir als Parameterform PF(E): \(\small PF(E): \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) +r \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 8 \end{array}\right) \) Beachte: Wir erhalten folgende Vereinfachung für unsere Ebene: \(\small PF(E): \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) +r \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \) |
Beiden Parameterformen sieht man es auf den ersten Blick nicht an, dass sie die selbe Ebene darstellen und daher folgende Gleichung gültig ist:
\(\hspace{10mm} \small PF(E): \space \vec{X} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 14 \end{array}\right) +r_1 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + s_1 \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 6 \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) +r_2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right) + s_2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\)
Aufgabe: Begründe rechnerisch, dass beide Gleichungen die selbe Ebene darstellen!
Ein weiterer Weg zur Bestimmung der Parameterform PF(E) aus der Koordinatenform KF(E) wäre der Weg über die Normalenform NF(E).
D.h. Forme die Koordinatenform erst in die Normalenform um und dann diese in Parameterform.
Aufgabe: Führe zur Übung diesen Weg durch!
5.1 PF(E) ➥ NF(E)