3.5.4 Von der Normalenform zur Koordinatenform

Liegt eine Ebene in der Normalenform \(\small NF(E)\) vor, dann können wir diese in zwei Schritten in die Koordinatenform \(\small KF(E)\)  umformen:

•  Ausmultiplizieren der Klammer mit dem Normalenvektor
• nach den Rechenregel des Skalarprodukts für diese Multiplikation.

 

 

Beispiel zur Umwandlung von der NF(E) zur KF(E)

Gegeben ist die Ebene E in Normalenform:

\( \small NF(E):  \space \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3  \end{array}\right) \color{red}{\circ} \Biggl \lbrack \vec{X}-\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3  \end{array}\right) \Biggr \rbrack =0  \)

 

Ausmultiplizieren der eckigen Klammer unter Beibehaltung des Skalarprodukts \(\color{red}{\circ}\) als Struktur der Multiplikation:

\(\small \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3  \end{array}\right) \color{red}{\circ} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{array}\right) \color{blue}{-}\left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -3  \end{array}\right) \color{red}{\circ} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3  \end{array}\right)=0  \)

 

Die Berechnung des Skalarprodukts mit Vereinfachung des Terms führt unmittelbar zur Koordinatenform:

\(- x_1+2 x_2-3 x_3 \color{blue}{-} (-2+2+9)=0\)
 

\(KF(E): \space -x_1+2x_2-3 x_3- 9=0\)

 

---