Ähnlich der Schnittpunktbestimmung zwischen einer Geraden und einer Ebene, die in Koordinatenform vorliegt, funktioniert die Bestimmung der Schnittgeraden, falls eine Ebene durch eine Koordinatenform und die andere durch eine Parameterform beschrieben wird!
Benötigen wir nur eine Aussage über die gegenseitige Lage der beiden Ebenen, dann können wir mit Hilfe der Normalenvektoren entscheiden, ob es eine Schnittgerade gibt oder ob die Ebenen parallel zueinander verlaufen.
\(\small E: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \hspace{12mm} \Rightarrow \hspace{10mm} \vec{n_E}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -3 \end{array}\right) \)
\( \small F: -2x_1-2x_2+5x_3-8=0 \hspace{38mm} \Rightarrow \hspace{10mm} \vec{n_F}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)\)
Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Vektoren sind nicht parallel und schneiden sich in einer gemeinsamen Schnittgeraden.
Falls wir zusätzlich die Schnittgerade bestimmen müssen, können wir diese in vier Schritten berechnen:
| Selbstverständlich können wir auch ohne die Analyse der gegenseitigen Lage sofort mit der Berechnung der Schnittgerade starten. Falls eine Schittgerade existiert, dann haben wir ebenfalls nachgewiesen, dass sich die Ebenen schneiden und nicht parallel zueinander liegen! |
"Allgemeiner Ebenenpunkt" der Ebene E: \( \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -1-3r+2s \\ -1+s \\ 3+r-s \end{array}\right)\)
Einsetzen in die Koordinatenform und nach Parameter auflösen:
\(-2\cdot(-1-3r+2s)-2 \cdot (-1+s) +5 \cdot (3+r-s)-8 = 0\)
\(2+6r-4s+2-2s+15+5r-5s-8=0\)
\(\Rightarrow 11+11r-11s=0 \hspace{20mm} \color{red}{ \Rightarrow r=s-1}\)
Parameter r=s-1 einsetzen und Geradengleichung bestimmen:
\(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) +\color{red}{ (s-1)} \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)
Ausmultiplizieren und zusammenfassen der Gleichung:
\(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) +\color{red}{ s} \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) +\color{red}{ (-1)} \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)
\(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) +\color{red}{ (-1)} \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)+\color{red}{ s} \cdot \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)
Damit erhalten wir folgende Schnittgerade:
\(\small g: \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
1. Lageuntersuchung