Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, dann könnten wir eine der Ebenen in die Parameterform umwandelt und die Schnittgerade wie im vorherigen Kapitel berechnen.
Wir können aber auch direkt aus den Gleichungen ein Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen. Wie bei Gleichungssystemen üblich, können wieder unterschiedliche Lösungen zustande kommen, die wir wieder deuten müssen:
Gegeben sind die Koordinatenformen der beiden Ebenen E und F:
\(\small E: \space 2x_1+x_2-3x_3-2=0\)
\(\small F: \space
-x_1+2x_2-2x_3+4=0\)
1. Schritt: Gleichungssystem aufstellen und vereinfachen:
\(\Rightarrow\) Eliminiere \(\small x_1-\) Komponente
in der 2. Zeile
\(\Rightarrow\) Zeilenstufenform des Gleichungssystems
| I)
\(\small \space 2x_1+x_2-3x_3-2=0\) II) \(\small \space -x_1+2x_2-2x_3+4=0\) |
||
| I)
\(\small \space 2x_1+x_2-3x_3-2=0\) 2 II) \(\small \space -2x_1+4x_2-4x_3+8=0\) |
\(\Rightarrow\) | I)
\(\small \space 2x_1+x_2-3x_3-2=0\) 2 II + I) \(\small \space 5x_2-7x_3+6=0\) (IV) |
Wir haben ein unterbestimmtes System und setzten nun \(x_3= \lambda\) und bestimmen \(x_1\) und \(x_2\) in Abhängigkeit von \(\lambda\):
\( \hspace{81mm} \Rightarrow x_3=1 \lambda +0 \hspace{10mm}\) in (IV)
IV) \(5x_2-7 \lambda +6 =0 \hspace{31mm} \Rightarrow x_2=\frac{7}{5} \lambda - \frac{6}{5} \hspace{8mm} \) mit \(x_3\) in I)
I) \(2x_1+(\frac{7}{5} \lambda - \frac{6}{5}) - 3 \lambda -2=0 \hspace{5mm} \Rightarrow x_1=\frac{4}{5} \lambda+ \frac{8}{5}\)
Die Koordinaten \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) sind die Zeilen unserer Schnittgeraden \(s\), die wir durch folgende Umformung/Zusammenfassung erhalten. Fasse dazu alle Terme, die \(\lambda\) enthalten und diejenigen die kein \( \lambda\) enthalten zusammen:
\(s: \small \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} \frac{8}{5}+\frac{4}{5} \lambda \\ -\frac{6}{5}+\frac{7}{5} \lambda \\ 0+\lambda \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} \frac{8}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 0 \end{array}\right) +\left( \begin{array}{c} \frac{4}{5} \lambda \\ \frac{7}{5} \lambda \\ \lambda \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} \frac{8}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 1 \end{array}\right)\)
| Schnittgerade \(s\) der Ebenen E und F: \(s: \small \space \vec{X}=\left( \begin{array}{c} \frac{8}{5} \\ -\frac{6}{5} \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} \\ 1 \end{array}\right)\) |
1. Lageuntersuchung