1.7.1 Herleitung des Keuzprodukts

Ein häufiges Problem der Vektorrechnung ist die Notwendigkeit eines Vektors \( \vec{n} \), der zu zwei gegebenen Vektoren \( \vec{u} \)  und  \(\vec{v}\)  senkrecht steht.

Der Weg zu diesem speziellen Vektor  \(\vec{u} \times  \vec{v} \)   basiert auf dem Zusammenhang von zwei senkrecht zueinander stehenden Vektoren und dem Skalarprodukt dieser Vektoren.

 

Senkrechte Vektoren und Skalarprodukt

Angenommen wir haben zwei Vektoren  \( \vec{u} \)  und  \(\vec{v}\) und suchen einen Vektor \( \vec{n}\),  der sowohl senkrecht auf \(\vec{u}\) als auch senkrecht auf \(\vec{v}\)  steht, dann muss jeweils das Skalarprodukt von \( \vec{n} \)  mit \( \vec{u} \) und \(\vec{v} \) null sein. Es gilt somit folgender Zusammenhang: \(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{u} \hspace{5mm}  \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{u} =0 \) \(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{v} \hspace{5mm}  \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{v} =0 \)

 

Aufstellen und Umformen des zugehörigen Gleichungssystems

Aus diesem bekannten Zusammenhang zwischen zwei Vektoren, die zueinander senkrecht stehen und dem zugehörigen Skalarprodukt können wir zwei Gleichungen aufstellen und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den drei Unbekannten \( n_1 \), \( n_2\)  und  \( n_3 \):

 

In unserem Gleichungssystem haben wir eine Variable mehr zu bestimmen als Gleichungen im Gleichungssystem vorhanden sind. Ein solches Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele.

Um eine konkrete der unendlich vielen Lösungen zu erhalten, werden wir später die Variable/Koordinate  \( n_1\) geeignet wählen/festlegen und auf dieser Basis die beiden anderen Koordinaten des Normalenvektors \(\vec{n} \) bestimmen.

 

Berechnung der Koordinate \(n_3\) des Normalenvektors \( \vec{n} \)

Im folgenden Abschnitt formen wir die beiden Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so um, dass wir alle Komponenten der \(x_2-\)Koordinate eliminieren können, also weg mit " \(n_2u_2\) und \(n_2v_2\) ".

 

1. Schritt: \(n_1u_1\)  und  \(n_1v_1\)  nach links bringen

 

 

2. Schritt: Wir multiplizieren Gleichung I mit  \(-v_2\) und Gleichung II mit \(u_2\) .

 

 

3. Schritt:
Addiere beide Gleichungen gemäß dem Additionsverfahren und vereinfache den Summenterm.

I + II)  \(n_1u_1v_2-n_1u_2v_1=\color{red}{-n_2u_2v_2}-n_3u_3v_2 \color{red}{+n_2u_2v_2}+n_3u_2v_3\)

I + II)  \(n_1u_1v_2-n_1u_2v_1=n_3u_2v_3-n_3u_3v_2\)

 

 

4. Schritt: Klammere \(n_1\) bzw. \(n_3\) aus und löse dann nach \(n_3\) auf:

\(n_1 \cdot (u_1v_2-u_2v_1)=n_3 \cdot (u_2v_3-u_3v_2) \)

\(n_3=\Large\frac{n_1 \cdot (u_1v_2-u_2v_1)}{(u_2v_3-u_3v_2)} \)

 

5. Schritt: Trick

Um eine konkrete Lösung des unterbestimmten Gleichungssystems zu erhalten, setzen wir nun, wie oben bereits beschrieben, eine beliebige Koordinate geeignet fest.

Wir verwenden für  \(n_1\)  einen Wert , der sich aus den Koordinaten der Vektoren \( \vec{u}\)  und  \( \vec{v} \) berechnen lässt:

Wir setzen:  \(n_1=u_2v_3-u_3v_2\)

Der Vorteil unserer Festlegung ist, dass wir damit den obigen Bruch kürzen und erhalten die Berechnung der Koordinate \(n_3\), wieder mit Hilfe der gegebenen Vektoren \(\vec{u}\)  und  \( \vec{v} \).

 

\(n_3 \Large=\frac{n_1 \cdot (u_1v_2-u_2v_1)}{(u_2v_3-u_3v_2)}=\frac{(u_2v_3-u_3v_2) \cdot (u_1v_2-u_2v_1)}{(u_2v_3-u_3v_2)} =\normalsize  u_1v_2-u_2v_1\)

 

6. Ergebnis:

Mit der Festlegung der Koordinaten \(n_1\) haben wir nun bereits zwei Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\)  berechnen können:

\(n_1=u_2v_3-u_3v_2\)
\(n_3=u_1v_2-u_2v_1\)

 

 

Berechnung der Koordinate \(n_2\) des Normalenvektors \( \vec{n} \)

Nachdem wir im vorherigen Abschnitt die \(n_1-\) und die \(n_3-\)Koordinate des gesuchten (Normalen-) Vektors \(\vec{n}\) berechnen konnten, werden wir im folgenden Abschnitt nach dem Motto "Weg mit  \(n_3u_3\) und \(n_3v_3\)" mit analogen Äquivalenzumformungen erst alle Komponenten der \(x_3-\)Koordinate eliminieren.

Mit dem entstandenen Term bestimmen wir dann die \(n_2\)-Koordinate des Normalenvektors \(\vec{n} \). Dabei werden wir wieder die getroffene Festlegung  \(\color{red}{n_1=u_2v_3-u_3v_2}\) verwenden.

 

1. Schritt: \(n_1u_1\)  und  \(n_1v_1\)  nach links bringen

 

 

2. Schritt: Wir multiplizieren Gleichung I mit  \(-v_3\) und Gleichung II mit \(u_3\) .

 

 

3. Schritt:
Addiere beide Gleichungen gemäß dem Additionsverfahren und vereinfache den Summenterm.

I + II)  \(n_1u_1v_3-n_1u_3v_1=-n_2u_2v_3 \color{red}{-n_3u_3v_3} +n_2u_3v_2 \color{red}{+n_3u_3v_3}\)

I + II)  \(n_1u_1v_3-n_1u_3v_1=n_2u_3v_2-n_2u_2v_3 \)

 

 

4. Schritt: Klammere \(n_1\) bzw. \(n_2\) aus und löse dann nach \(n_2\) auf:

\(n_1 \cdot (u_1v_3-u_3v_1)=n_2 \cdot (u_3v_2-u_2v_3) \)

\(n_2=\Large\frac{n_1 \cdot (u_1v_3-u_3v_1)}{(u_3v_2-u_2v_3)} \)

 

5. Schritt: Trick

Um eine konkrete Lösung des unterbestimmten Gleichungssystems zu erhalten, setzten wir nun nach dem bekannten Muster:

 \(n_1=u_2v_3-u_3v_2\)

Nachdem wir den Faktor \(-1\) aus diesem Baustein im Zähler ausgeklammert haben, lässt sich der obige Bruch wieder kürzen und wir können die \(n_2-\)Koordinate berechnen.

 

\(\color{red}{n_2} \Large=\frac{n_1 \cdot (u_1v_3-u_3v_1)}{(u_3v_2-u_2v_3)}=\frac{(u_2v_3-u_3v_2) \cdot (u_1v_3-u_3v_1)}{(u_3v_2-u_2v_3)}\)

\(\hspace{8mm} \Large=\frac{-(u_3v_2-u_2v_3) \cdot (u_1v_3-u_3v_1)}{(u_3v_2-u_2v_3)} =\normalsize  -(u_1v_3-u_3v_1) \color{red}{=u_3v_1-u_1v_3}\)

 

6. Ergebnis:
Wir haben nun alle Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\) aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren berechnet und unser bekanntes Kreuzprodukt bestätigt:

 

\(n_1=u_2v_3-u_3v_2\) \(n_2=u_3v_1-u_1v_3\) \(n_3=u_1v_2-u_2v_1\)

\(\Leftrightarrow\)

\( \vec{u} \times \vec{v}  =   \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right) \times    \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right) \)

 

 

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