Bild_Oben

1.7.4 Volumenberechnungen mit Kreuz- und Skalarprodukt

Im linken Bild spannen die drei Vektoren \( \vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{h}\) ein gerades Prisma auf, d.h. die Kanten in Richtung dem Vektor  \(\vec{h}\)  stehen senkrecht auf der Grundfläche, das ein Parallelogramm ist.

Das gerade Prisma hat also

  • eine Grundfläche mit den Flächeninhalt   \(A_G=|\vec{u} \times \vec{v} | \),
  • eine Höhe \(h = | \vec{h}| \)
  • und folglich das Volumen \(V_{Prisma} = | \vec{u} \times \vec{v} | \cdot |\vec{h} |\).
Spatvolumen Spatvolumen

Im rechten Bild spannen die Vektoren  \( \vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) ein schiefes Prisma auf, bei dem alle Seitenflächen Parallelogramme sind. Solche Prismen nennt man Spat.  Der dargestellte Spat hat dieselbe Grundfläche \(A_G=|\vec{u} \times \vec{v} | \) und dieselbe Höhe \(h\) wie das gerade Prisma auf der linken Seite.

Nach dem Cavalieri'schen Prinzip haben alle Prismen mit derselben Grundfläche und derselben Höhe das gleiche Volumen. Somit haben beide oben dargestellten Prismen das gleiche Volumen:

\[V_{Spat} = A_G \cdot h =|\vec{u} \times \vec{v} | \cdot h \]

 

Volumenberechnung eines Spats

Für die Berechnung des Spatvolumens müssen wir lediglich die Länge der Höhe \(h\) aus dem Vektor \(\vec{w}\) und dessen Neigungswinkel \(\beta\) gegenüber dem Vektor \( \vec{u} \times \vec{v}\) bestimmen.

 

Es gelten folgende Zusammenhänge:

  • Wir erinnern uns an das Skalarprodukt zweierer Vektoren:  \(  |\color{red}{\vec{a}}| \cdot |\color{blue}{\vec{b}}| \cdot cos(\beta) =\color{red}{\vec{a}} \circ \color{blue}{\vec{b}} \)
  • und berechnen die Höhe \(h\) mit:    \(h=|\vec{w}| \cdot cos \beta \)
  • Für das Volumen das Spats gilt unter Berücksichtigung des Skalarprodukts der beteiligten Vektoren \(\color{red}{\vec{u} \times \vec{v}}\) und \(\color{blue}{\vec{w}}\): 

    \(V_{Spat}=A_G \cdot h=|\vec{u} \times \vec{v}| \cdot h =|\color{red}{\vec{u} \times \vec{v}}| \cdot |\color{blue}{\vec{w}}| \cdot cos \beta  = (\color{red}{\vec{u} \times \vec{v}}) \circ \color{blue}{\vec{w}} \)

 

Für das Volumen eines Spats, der durch die Vektoren   \( \vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) aufgespannt wird, erhalten wir folgende Formel:

\[V_{Spat} =| (\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w}| \]

Die Betragsstriche berücksichtigen den Fall, dass die Vektoren  \(\vec{u} \times \vec{v} \) und \(\vec{w}\) einen stumpfen Winkel einschließen.

 

Volumenberechnung einer Dreieckspyramide

 

Der Spat kann durch einen einfachen Schnitt in zwei gleichgroße dreiseitige Prismen aufgeteilt werden.

Jedes dieser Prismen hat jeweils das Volumen des halben Spats, d.h.:

  

\(V_{Prisma} =\frac{1}{2} \cdot | (\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w}| \)

 

 Prismavolumen
   

Aus der Mittelstufe ist bekannt, dass jedes dreiseitige Prisma in jeweils drei volumengleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden kann.

 \(\hspace{10mm} \Rightarrow V_{Pyramide}=\frac{1}{3} \cdot V_{Prisma} \)

  

In unserem Fall wird diese Pyramide durch die Vektoren  \( \vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) aufgespannt und hat folglich das Volumen:

\(V_{Pyramide} =\frac{1}{6} \cdot | (\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w}| \)

 


 Tetraedervolumen

 

Beispiel

Gegeben sind die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(10|13|1)\), \(C(1|16|9)\) und \(S(11|21|6)\), die eine Dreieckspyramide festlegen. Die Grundfläche der Pyramide ist wird durch das Dreieck ABC festgelegt.

Für das Volumen der Pyramide gilt:

\(V_{Pyramdie}\) \(=\frac{1}{6}\cdot\Bigl|(\vec{AB} \times \vec{AC}) \circ \vec{AS}\Bigr| \)
\(=\frac{1}{6}\cdot \Bigl|\left( \begin{array}{c} 9 \\ 12 \\ 0 \end{array} \right)  \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 8 \end{array} \right)  \circ \left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right)  \Bigr|
=\frac{1}{6}\cdot \Bigl| \left( \begin{array}{c} 96 \\ -72 \\ 135 \end{array} \right)  \circ \left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \\ 5 \end{array} \right)  \Bigr|=\)
\(=\frac{1}{6} \cdot \Bigl| 960-1440+675 \Bigr|=\frac{1}{6} \cdot  \bigl| +195 \Bigr|= 32,5 \) VE

 

Aufgabe:

  • Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche ABC.
  • Berechne die Höhe h der Pyramide ABCS.

 

Lösung

Lösung