Das Kreuzprodukt \(\vec{u} \times \vec{v}\) ordnet den Vektoren \( \vec{u}\) und \(\vec{v}\) einen gemeinsamen Lotvektor \(\vec{n}\) zu. Das Kreuzprodukt wird auch als Vektorprodukt bezeichnet.
Aus den bisherigen Überlegungen bzw. Berechnungen können wir zusammenfassend nachfolgende Eigenschaften des Kreuzprodukts formulieren:
Berechnung:
\(\vec{n}= \vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right) \)
Normaleneigenschaft:
\(\vec{n}= \vec{u}
\times \vec{v}\) ist ein Vektor, der sowohl auf \(\vec{u}\) als auch
auf \(\vec{v}\) senkrecht steht, d.h. auch
\(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{u} \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{u} =0 \)
\(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{v} \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{v} =0 \)
Antikommutativität
Das Vektorprodukt ist antikommutativ:
\(\hspace{10mm}\vec{v} \times \vec{u}=-(\vec{v} \times \vec{u})\)
Ein Vertauschen der Vektoren im Kreuzprodukt ändert das Vorzeichen in allen Koordinaten des Ergebnisvektors. Das bedeutet auch, dass sich die Orientierung des Vektors umdreht.
Rechtssystem
Die Vektoren (\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{n}=\vec{u}
\times \vec{v}\) bolden ein sogenanntes Rechtssystem,
wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand.
Unser kartesisches Koordinatensystem ist ebenfalls ein solches Rechtssystem.
Parallelogrammfläche
Schließen die beiden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) dem Winkel \(\alpha
\) ein, dann gilt:
\(\hspace{5mm} |\vec{u}
\times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot sin (\alpha)\)
Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) spannen ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts berechnet werden kann:
\(\hspace{35mm} A(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u}
\times \vec{v}| \)
Dreiecksfläche
Die Halbierung des durch die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\)
aufgespannt Parallelogramms bestimmt ein Dreieck.
Wir erhalten als Flächeninhalt des durch die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannt Dreicks:
\(\hspace{35mm} A(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{2} \cdot |\vec{u} \times \vec{v}| \)
Spatvolumen
Das
Volumen des durch die Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\)
aufgespannten Spats beträgt:
\(\hspace{35mm} V_{Spat} = |(\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w} |\)
Volumen einer Dreieckspyramide
Die
durch die Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) aufgespannte
Dreieckspyramide hat das Volumen:
\(\hspace{35mm} V_{Pyramide} = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w} |\)
7.1 Herleitung