1.7.2 Normaleneigenschaft des Kreuzprodukts

Mit Hilfe unseres Skalarproduktes können wir nachweisen, dass der durch das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v}\) berechnete Vektor \( \vec{n}\) tatsächlich senkrecht zu den beiden gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist.

Grundlage des Nachweises ist folgender bekannter Zusammenhang:
 
\(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{u} \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{u} =0 \)
\(\hspace{15mm} \vec{n} \perp \vec{v} \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} \vec{n} \circ \vec{v} =0 \)

 

Nachweis bezüglich des Vektors \( \vec{u}\)

Wenn ein Vektor \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \) senkrecht zum Vektor \( \vec{u}\) ist, dann muss stets gelten:

\(\vec{u} \circ \vec{n} = 0\) 

 

Wir müssen den Nachweis an dieser Stelle für allgemeine Koordinaten führen, um zu zeigen, dass dieser Zusammenhang für beliebige Vektoren gilt.

In der Praxis werden wir diesen Beweis in der Regel nur für spezielle Vektoren führen müssen.

\( \vec{u} \circ \vec{n} \)	\(= \vec{u} \circ  \left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right) =   \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right)\)
	\(= u_1 \cdot (u_2v_3-u_3v_2) + u_2 \cdot ( u_3v_1-u_1v_3) + u_3 \cdot (u_1v_2-u_2v_1) \)
	\(= \color{red}{u_1u_2v_3}-\color{blue}{u_1u_3v_2} +  u_2 u_3v_1-\color{red}{u_2u_1v_3} + \color{blue}{u_3u_1v_2}-u_3u_2v_1 =0\)

 

Nachweis bezüglich des Vektors \( \vec{v}\)

Entsprechend werden wir zeigen, dass der Vektor \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \) senkrecht zum Vektor \( \vec{v}\) ist.

Es gilt wieder:     \(\vec{v} \circ \vec{n} = 0\) 

 

Auch für den Vektor \( \vec{v}\) führen wir den Nachweis wieder für allgemeine Koordinaten, um die Gültigkeit für beliebige Vektoren zu zeigen:

\( \vec{v} \circ \vec{n} \)	\(= \vec{v} \circ  \left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right) =   \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right)\)
	\(= v_1 \cdot (u_2v_3-u_3v_2) + v_2 \cdot ( u_3v_1-u_1v_3) + v_3 \cdot (u_1v_2-u_2v_1) \)
	\(= \color{red}{v_1u_2v_3}-\color{blue}{v_1u_3v_2} + \color{blue}  {v_2 u_3v_1}-{v_2u_1v_3} +{v_3u_1v_2}-\color{red}{v_3u_2v_1} =0\)

 

 

---