Durch Kombination von Addition, Subtraktion und skalarer Multiplikation von Vektoren können neue Vektoren gebildet werden. Man spricht dabei von einer sogenannten Linearkombination von Vektoren oder einer Vektorkette.
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Definition Ein Term der Form \( k_1 \cdot \vec{v_1}+k_2 \cdot \vec{v_2}+...+k_n \cdot \vec{v_n} \) heißt Linearkombination der Vektoren \( \vec{v_1}, \vec{v_2}, ... , \vec{v_n} \). Die reellen Faktoren \(k_1, k_2, ... , k_n \) nennt man Koeffizienten. |
Durch die Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) kann ein Parallelogramm \(ABCD\) festgelegt werden.
Ausgehend vom Punkt \(A\) führend die beiden Vektorketten \( \vec{u} + \vec{v} \) sowie \( \vec{v} + \vec{u} \) zum Punkt \(C\). Die beiden Punkte \(B\) und \(D\) erhalten wir jeweils an den Nahtstellen der Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) in den Vektorketten.
Durch diese "Konstruktion" ist sichergestellt, dass die beiden jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind und somit die grundlegenden Eigenschaften eines Parallelogramms erfüllt sind.
Der Vektor \( \vec{r} \) hat den Fußpunkt \(D\) und die Spitze \(B\). Mit Hilfe der Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) kann dieser Vektor ausgedrückt werden, in der Weg vom Fuß zur Spitze damit beschrieben wird:
\[ \vec{r} = -\vec{v} + \vec{u} = \vec{u} - \vec{v} \]
Die Punkte \(P\) und \(Q\) sind jeweils die Mittelpunkte der jeweiligen Parallelogrammseiten. Der Vektor \( \vec{s} \) kann mit dieser Information ebenfalls als Vektorkette mit den Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) beschrieben werden:
\[ \vec{s} = \frac{1}{2} \cdot \vec{u} - \frac{1}{2} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot ( \vec{u} - \vec{v}) \]
| Merkregel zum Beschreiben von Vektoren Soll ein Vektor mit Hilfe einer Vektorkette aus gegebenen Vektoren ausgedrückt werden, so muss eine Weg von dessen Fuß bis zu seiner Spitze als Linearkombination mit den gegebenen Vektoren formuliert werden. |
5.1 Vektoraddition