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Definition
Die Länge eines Vektors \( \vec{v} \) bezeichnet man kurz mit \( | \vec{v} | \) . Statt "Länge des Vekors \( \vec{v}\)" sagt man auch Betrag von \( \vec{v} \) . |
Fall 1: Beliebiger Vektor ist gegeben:
Einen beliebigen Vektor \( \vec{v}\) kann man sich als
Raumdiagonale eines Quaders vorstellen, dessen Eckpunkte sich durch die
Koordinaten des Vektors ergeben.
Fall 2: Zwei Punkte sind gegeben:
Sind umgekehrt zwei beliebige Punkte \(P\) und \(Q\) gegeben, dann können
wir durch die Berechnung der "Koordinatenänderung von \(P\) nach \(Q\)"
die Koordinaten des Vektors \( \vec{PQ} \) und anschließend den Abstand
\(d(P;Q) \) der beiden Punkte berechnen.
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Grundsätzlich können wir die Länge eines Vektors \( \vec{v}\) analog zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte mit Hilfe des dreidimensionalen Pythagoras berechnen:
Im obigen Beispiel erhalten wir: \(\ \vec{v} = \left| \left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right) \right| = \sqrt{(-3)^2+4^2+4^2}=\sqrt{41} \)
Allgemein erhalten folgende Zusammenhänge:
Abstand zweier Punkte und Länge von Vektoren
Sind die beiden Punkte \(P(p_1 | p_2 | p_3 ) \) und \(Q(q_1 | q_2 | q_3 ) \) gegeben, dann können wird den Vektor \(\vec{PQ} \) folgendermaßen berechnen: \(\hspace{10mm} \Rightarrow \vec{PQ} = \left( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\ q_2-p_2 \\ q_3-p_3 \end{array} \right) \hspace{10mm}\)Merkregel: "Spitze minus Fußpunkt!"
Die beiden Punkte \(P \) und \(Q\) haben
den Abstand \(\hspace{10mm} \Rightarrow d(P;Q)=\sqrt{ (q_1-p_1 )^2+(q_3-p_3 )^2+(q_3-p_3 )^2}\)
Ein beliebiger Vektor \( \vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) \) hat also den Betrag \( | \vec{v} | =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^3} \) Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Vektors. |
5.1 Vektoraddition